Espacio dual de $H^1(\Omega)$

Question

Estoy un poco confundido, ¿por qué la gente no se define $H^1(\Omega)^*$? En su lugar solo dicen que $H^{-1}(\Omega)$ es el doble de $H^1_0(\Omega).$

$H^1(\Omega)$ es un espacio de Hilbert por lo que tiene un bien definido espacio dual. ¿Alguien puede explicar el problema con esto?

Answer 1

No estoy completamente de acuerdo con Dirk. El doble de $H^1$ seguro de que está bien definido, es solo que es difícil ser caracterizada como $(H^1_0)^* = H^{-1}$, que es la gente suele decir.

El isomorfismo entre el $H^1_0$ $H^{-1}$ puede interpretarse de valor en la frontera problema de sentido: El de Dirichlet Laplaciano puede ser definida como $$ -\Delta^{\mathrm{Dir}}: H^1_0(\Omega)\H^{-1}(\Omega) $$ en el sentido de que $$ \langle-\Delta^{\mathrm{Dir}} u,v \rangle = \int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla v, \quad \text{para } \forall u,v\in H^1_0(\Omega), $$ es decir, que la $$\forall f\in H^{-1}(\Omega), \quad f = -\Delta^{\mathrm{Dir}} u \quad\text{for some } \; u\in H^1_0(\Omega).\tag{1}$$

Imitando anteriormente, podemos definir Neumann Laplaciano: $$-\Delta^{\mathrm{Neu}}: H^1(\Omega) \to H^1(\Omega)^*,$$ en el sentido de que $$ \langle-\Delta^{\mathrm{Neu}} u,v \rangle = \int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla v, \quad \text{para } \forall u,v\in H^1 (\Omega), $$ por la compatibilidad de la condición de Neumann valor en la frontera problema, Neumann Laplaciano $-\Delta^{\mathrm{Neu}}$ es más bien un bijection de $H^1(\Omega)/\mathbb{R} \to (H^1(\Omega)/\mathbb{R})^*$.

Sólo si hacemos uso de la total $H^1$-producto interior para definir un operador que se asigna un $H^1$-de la función dual: $$ \langle\mathcal{A} u,v \rangle = \int_{\Omega} (\nabla u\cdot \nabla v+u\,v),\quad \text{para } \forall u,v\in H^1(\Omega), $$ donde $\mathcal{A}: H^1(\Omega) \to H^1(\Omega)^*$. Sin embargo no tenemos una (1) tipo de declaración debido a que los no especificados del valor en la frontera.

Answer 2

Como recuerdo, uno generalmente define $H^{-1}(\Omega)$ a ser el espacio doble de $H^1(\Omega)$. La razón para esto es que uno generalmente no identificar $H^1(\Omega)^*$ $H^1(\Omega)$ (que sería posible) pero en cambio trabaja con una representación diferente. Por ejemplo, se trabaja con el producto $L^2$-interior doble maridaje entre $H^{-1}(\Omega)$y $H^1(\Omega)$ (en caso de que el elemento en $H^{-1}(\Omega)$ es una $L^2$-función).