"La primera descomposición de $\infty$"

Question

Acabo de leer el siguiente ejercicio:

"Determinar para algunos (o todos) $n\leq 10$ la primera descomposición de $2, 3, 5$ y $\infty$ $\mathbb{Q}(\zeta_{12})$, donde $\zeta_{12}$ es raíz primitiva $12$-th de la unidad. En particular, determinar los diferentes lugares por encima de $2, 3, 5$ y $\infty$, sus índices de ramication y sus grados de inercia. "

¿Qué es "la primera descomposición de $\infty$" que significa aquí?

Answer 1

Misterioso sin contexto, no es eso. Aquí está el contexto, a pesar de que:

En Aritmética, a menudo se intenta controlar la arquímedes valor absoluto de $\Bbb Q$ en forma casi paralela al tratamiento de la nonarchimedean valores absolutos. Estos últimos están en una correspondencia uno a uno con el primer enteros, mientras que para la consistencia del amor, uno se refiere a la arquímedes valor absoluto como "infinito", $\infty$, y uno puede incluso lo llaman "el infinito prime".

Ahora, en una extensión finita $K$$\Bbb Q$, cada finito prime $p$ se divide en un cierto número de $n_p$ de los números primos; esto $n_p$ puede ser interpretado como el número de diferentes $p$-ádico valores absolutos en $K$ que se extienden a la $p$-ádico valor absoluto en $\Bbb Q$. De la misma manera, uno se pregunta por el número de arquímedes valores absolutos que existen en $K$. La forma más sencilla de verlo es que si $f(X)$ es el mínimo polinomio para un elemento de generación de $K$$\Bbb Q$, factor de $f$ en real irreductible factores. Habrá $r_1$ lineales, y $r_2$ cuadrática. (En caso de que la extensión es normal, uno de estos dos números es cero.) En cualquier caso, $[K:\Bbb Q]=r_1+2r_2$.

Por último, se dice que arquímedes valor absoluto se ramifica en una extensión de $K\supset F$ si es complejo en $K$ pero restringe a un real valor absoluto en $F$. Es decir, las respectivas terminaciones son $\Bbb C$$\Bbb R$. El grado de ramificación es $2$ en este caso, $1$ en todos los demás casos.

Answer 2

Un infinito prime se define como una incrustación de campo en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Contamos conjugado incrustaciones en $\mathbb{C}$ a ser el mismo primer. A continuación, una infinita primer divide en una extensión de si el campo superior se puede extender a una incrustación en el mismo campo que el de la base, $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, y ramifies si el campo de la extensión puede ser incrustado en $\mathbb{C}$ no totalmente en $\mathbb{R}$, extendiendo una incrustación de la base de campo en $\mathbb{R}$.

Por ejemplo: $\mathbb{Q}$ tiene un único infinito real prime, porque tiene un solo incrustación en los reales. Pero si ampliamos a $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, este campo puede ser incrustado en $\mathbb{C}$ en tres formas diferentes, dos de los cuales son el conjugado complejo de incrustaciones y uno de los cuales es una real integración. Así que la verdadera plenitud de la $\mathbb{Q}$ parcialmente ramifies y parcialmente se divide. El índice de ramificación del complejo principal es 2 y el índice de ramificación de la real prime es 1, y no hay inercia en el infinito de los números primos.

Answer 3

El "primer descomposición de $\infty$" en un campo de número de $K$ es más o menos una cuestión de convención, a fin de paralelo el mismo fenómeno para el primer ideales. Pero la pregunta sigue siendo qué convención para elegir. Va a tomar mucho tiempo para hacer las cosas más precisas, pero primero, permítanme recordar la definición de la(s) de un lugar de $K$ :

(1) a partir de los valores absolutos de $K$ como en la respuesta de @Lubin, un lugar de $K$ es una clase de equivalencia de no trivial valores absolutos (de arquímedes o no) de $K$, dos valores absolutos equivalente iff los espacios topológicos que se definen en $K$ son homeomórficos. El conjunto de lugares $Pl_K$ se determina a partir de $Pl_{\mathbf Q}$ explícitos fórmulas :

• si $P$ es un primer ideal de $K$, luego $|x|_P$ := $N(P)^{-v_P (x)}$ , donde $N(P)$ es la norma absoluta de $P$ $v_P (x)$ es la potencia de la que $P$ aparece en el ideal de la factorización de $(x)$
• la arquímedes valores absolutos son de dos tipos : las de verdad, indexado por la $r_1$ incrustación $\sigma : K \to \mathbf R$ , definido por $|x|_{\sigma} = |\sigma x|$ ; los más complejos, indexado por la $r_2$ pares de conjugar incrustaciones $\tau : K \to \mathbf C$, definido por $|x|_{\tau} = |\tau x|^2$ . Tenga en cuenta que la plaza de cuentas por el hecho de que para cada par de conjugar $\tau$ 's, uno escoge sólo una de las dos conjugado $\tau (x)$' s

(2) Para definir los lugares de arquímedes a partir de la $\mathbf Q$-incrustaciones de $K$ en una clausura algebraica de $\mathbf Q$ como en la respuesta de @Bob Jones, debemos en primer lugar (para una prima fija $p$) mira el $\mathbf Q_p$-incrustaciones de $K$ a la finalización de la $\mathbf C_p$ de una expresión algebraica cierre de $\mathbf Q_p$. Dado cualquier $p$-ádico de valoración $v$ y cualquier incrustación $i_v : K \to K_v$ ($v$- realización de $K$), es fácil ver que $K_v = i_v (K)\mathbf Q_p$. Dos $\mathbf Q_p$-incrustaciones $\sigma , \tau : K \to \mathbf C_p$ será llamado equivalente si $\mathbf Q_p \sigma(K)$ $\mathbf Q_p \tau(K)$ $\mathbf Q_p$- conjugado, y una nueva definición será que un $p$-lugar = una clase de equivalencia de un $\mathbf Q_p$-incrustación $\sigma$ = {$\sigma \tau.i_v$} para un escogido $i_v$ $\tau$ ejecución a través de la $\mathbf Q_p$-isomorphisms de $K_v$ a $\mathbf C_p$. La coincidencia con la primera definición proviene de la fórmula $|x|_v = |N_{K_v /\mathbf Q_p }(x)|_p$. El análogo de la definición de arquímedes lugar complejo va a venir, obviamente, de la fórmula $N_{\mathbf C / \mathbf R} (i_\infty(x)) = i_\infty(x)$. conjugado $i_\infty(x)$, como anteriormente en (1).

La presencia de la plaza en la fórmula de la definición de un complejo achimedean lugar es tal vez en el origen de la convención ampliamente aceptada (desde Hasse) que en una relación de extensión de la $K/F$, un verdadero lugar de $F$ que se convierten en complejas en $K$ se llama ramificado, con ramificación índice 2. Pero esto no es indiscutible. En lugar de "ramificación", algunos autores (por ejemplo, G. Gras en su libro CFT: de la teoría a la práctica, Springer, 2003) abogan por el más neutro de la palabra "complejización" (de un lugar). En analogía con el vocabulario de un local de extensión $L_w / K_v$ obtenidos mediante la cumplimentación de un mundial de $L/K$, no hay duda de que el caso de ${\mathbf R / \mathbf R}$ para el lugar $\infty$ debería ser llamado "totalmente descompuesto". Sin embargo, la opinión sistemático de la terminología "ramificado" para el caso de ${\mathbf C / \mathbf R}$ conduce a la indebida complicaciones, por ejemplo, en la formulación de los principales teoremas de la CFT. Considere por ejemplo,$K = \mathbf Q (\zeta_m)$ , de los cuales el "natural" el conductor debe ser $m$, mientras que en la clásica formulación de CFT en términos de ray campos de la clase, este conductor es en realidad el módulo de $(m). \infty$. Más en serio, en la parte de CFT que se ocupa de la abelian extensiones con restricciones de ramificación, más precisamente unramified fuera de $S$ y totalmente descompuesto en el interior $T$, $S$ y $T$ dos finito de conjuntos disjuntos de los lugares de la base de campo (op. cit. el capítulo III), el llamado Spiegelungsatz (reflexión teorema) los intercambios entre otras cosas, el real infinitos lugares y el real infinitos lugares fuera de $S$, lo que hace que las instrucciones un poco desordenado cuando se adhiera a la convención habitual.