Evaluar el siguiente límite:

Question

Encontrar a $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+2}}\right]$ $

MI intento: $$\begin{align} \lim_{n \to \infty} &\frac{1}{\sqrt{n}} \biggl[ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+2}} \biggr] \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{n} \biggl[ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+2}} \biggr] \end {Alinee el} $$ ahora usando Cauchy primera thm de límites $$ a_n = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}} $$

La respuesta debe ser $\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Pero la respuesta es $1/\sqrt{2}$.

Answer 1

$$\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}=\frac{\sqrt{2k+2}-\sqrt{2k}}{2}$$

Los telescopios suma $\displaystyle \frac{1}{\sqrt n} \frac {\sqrt{2n+2} - \sqrt 2 }{2}$ que converge a $1/\sqrt{2}$

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Si falta esto, todavía puede usar integrales para obtener límites en $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}$

Answer 2

Si uno intenta uso de Cauchy del Primer Teorema del Límite, entonces empezamos con $$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}&=\lim_{n\to \infty}\sqrt{n}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}} \tag 1\\\\ \end{align}$$

El Teorema revela que desde $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+2}}=0$, $\lim_{n\to \infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}=0$

Por lo tanto, el límite en el lado derecho de la $(1)$ es de forma indeterminada (es decir, $\infty \times 0$) y tenemos la necesidad de proseguir con su evaluación con criterio.

Acudimos de nuevo a la parte izquierda de $(1)$ y la nota que tanto $\sqrt{n}$ $\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}$ son monótonamente creciente, las secuencias divergentes. Podemos invocar, por lo tanto, el Stolz-Cesaro Teorema y escribir

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}&=\lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} \\\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n+4}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\\\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n+4}}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$$

como iba a ser mostrado!

Answer 3

Se trata de un clásico sumas parciales del problema de integrales. Su expresión es: $$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2}}$ $

Escriba $$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\frac{k}{n}}+\sqrt{2\frac{k}{n}+2}}$ $

entonces el límite es igual a la integral \int_0^1\frac{1}{\sqrt{2x}+\sqrt{2x+2}}dx= \int_0^1\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{2x+2}}{-2}dx $$ $$