¿Es posible definir un anillo como una categoría? Por ejemplo, un grupo puede definirse como una categoría con un solo objeto y todos los morfismos siendo iso.
Respuesta
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Un monoide es una categoría con un solo objeto. Un homomorfismo de los monoides es sólo un functor de las categorías correspondientes.
Un anillo es un categoría lineal con un solo objeto. Un homomorfismo de anillos es sólo un functor lineal entre las categorías lineales correspondientes.
En términos más generales, si $R$ es un anillo conmutativo, entonces un $R$ -La álgebra es una $R$ -categoría lineal con un solo objeto, y $R$ -los homomorfismos de álgebra corresponden a $R$ - functores lineales.
Esto ofrece una definición compacta de los módulos: Un módulo sobrante $R$ es sólo un functor lineal $R \to \mathsf {Ab}$ . En realidad esto ha llevado a la siguiente noción más general (que ha encontrado aplicaciones en la teoría de categorías y la topología algebraica): Si $C$ es cualquier categoría lineal, luego una $C$ -módulo es un functor lineal $C \to \mathsf {Ab}$ . Los homomorfismos de $C$ -módulos son transformaciones naturales. Así, obtenemos una categoría $C$ -módulos.
Además, muestra que la categoría de monoides o anillos es en realidad una bicategoría: Si $f,g : M \to N$ son homomorfismos de monoides (o anillos), entonces un $2$ -morfismo $f \to g$ es un elemento $n \in N$ de tal manera que $n f(m) = g(m) n$ para todos $m \in M$ .
