Pregunta de teoría de conjuntos elemental

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta.

Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío y consideremos un mapa $f:X\to Y$ . Demuestra que las siguientes son equivalentes:

(a) $f$ es inyectiva;

b) existe $g:Y\to X$ tal que $gf=1_{X}$ donde $1_{X}:X\to X$ es el mapa de identidad;

c) para cualquier conjunto $Z$ y cualquier mapa $h_{1},h_{2}:Z\to X$ la ecuación $fh_{1}=fh_{2}$ implica que $h_{1}=h_{2}$ .

(*Me gustaría añadir aquí que el " $1$ " de cada " $1_{X}$ " debe escribirse con la fuente Math Blackboard - no estoy seguro de cómo hacerlo*)

Mi problema, por el momento, es que no puedo entender (algunas) de las notaciones e ideas. Intentaré describir en mis propios términos lo que creo entender. Me disculpo por el lenguaje terriblemente impreciso. Ya verán por qué no estoy dispuesto a demostrar nada todavía.

(a) Que la función $f$ es inyectiva significa que nunca mapea elementos distintos de su dominio al mismo elemento de su codominio. Así que cada elemento del conjunto $X$ corresponde a un único elemento del conjunto $Y$ . Y viceversa. Una función de la forma $f(x)=ax+c$ sería inyectiva (y también una biyección) mientras que una función de la forma $f(x)=ax^{2}+bx+c$ no lo sería (suponiendo que no haya restricciones en el dominio).

(b) Esta parte afirma que existe una función $g$ que mapea el conjunto $Y$ al conjunto $X$ . Del resto no estoy seguro. La función compuesta $gf$ es igual al mapa de identidad $1_{X}$ . ¿El mapa de identidad simplemente mapea X de nuevo en X? Por ejemplo, si $X=\left \{ 1,2 \right \}$ , lo hace $1_{X}$ mapa $1 \to 1$ y $2 \to 2$ ? Así que esta parte significaría, informalmente, que si se toma un elemento de $Y$ lo sustituye por su elemento correspondiente de $X$ y luego volver a asignarlo al mismo elemento de $X$ se obtiene el mapa de identidad. Esencialmente, cada elemento de $Y$ se asigna a un elemento de $X$ y puedes ir y venir entre los conjuntos.

(c) Ahora la parte final. Hay un conjunto $Z$ y dos mapas $h_{1}$ y $h_{2}$ , los cuales mapean el conjunto $Z$ al conjunto $X$ . Además (y no sé si esta notación es aceptable),

$$f:(h_{1}:Z \to X) \to Y=f:(h_{2}:Z \to X) \to Y.$$

No veo por qué esto demuestra que $f$ es inyectiva.

Me disculpo de nuevo por este desorden. Esta es mi primera exposición real a la teoría de conjuntos para mi curso de Cálculo de primer año y nuestro libro de texto (Stewart) no cubre esto. Escribir esto me ha ayudado a comprender mejor lo que estoy tratando de demostrar, aunque dudo que lo parezca. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Para demostrar que tres afirmaciones son equivalentes hay que suponer la primera, demostrar que la segunda se sigue; suponer la segunda y demostrar que la tercera se sigue; y, por último, suponer la tercera y demostrar que la primera se sigue. (Por supuesto, se puede mezclar el orden, o mostrar la equivalencia de los pares; el orden depende en gran medida de la formulación del problema).

1. Si es así supongamos que $f:X\to Y$ es inyectiva. Sea $x_0\in X$ sea un elemento fijo (ya que $X$ es no vacía tenemos tal elemento) podemos definir $g:Y\to X$ como $$g(y)=\begin{cases} f^{-1}(x) & y\in Rng(f)\\ x_0 &\text{otherwise}\end{cases}$$

   Esta es una buena definición, ya que $f$ es inyectiva $f^{-1}$ definido en su rango. Consideremos ahora $g\circ f:X\to X$ , se necesita $x$ a $g(f(x))$ Sin embargo, $f(x)\in Rng(f)$ así que $g(f(x))=f^{-1}(f(x))=x$ como se quería.

2. Supongamos que $f:X\to Y$ es tal que $g$ existe como se quería. Dejemos que $h_1,h_2$ ser mapas como se especifica, y $f\circ h_1=f\circ h_2$ . Considere $g\circ (f\circ h_i):Z\to X$ desde $\circ$ es asociativo esto es lo mismo que $(g\circ f)\circ h_i$ pero por nuestra suposición esto es lo mismo que $h_i$ . Así que tenemos que $h_1=h_2$ como se quería.

3. Por último, supongamos la tercera condición, y asumamos por contradicción que $f$ no es inyectiva. Esto significa que para algunos $a,b\in X$ tenemos $f(a)=f(b)$ mientras que $a\neq b$ . Definir $Z=\{0,1\}$ y $h_1(n)=a$ para todos $n\in Z$ mientras que $h_2(n)=b$ para todos $n\in Z$ . Ahora tenemos que $f\circ h_1=f\circ h_2$ pero $h_1$ no es claramente igual $h_2$ - contradicción como se quiere.

El principal truco está en la última implicación $(3)\Rightarrow (1)$ pero hay que explotar el hecho de que el supuesto está en cualquier espacio $Z$ y, por tanto, somos libres de generar contraejemplos si queremos.

Answer 2

En primer lugar, algunos comentarios aclaratorios:

(a) Por el momento, olvida casi todo lo que has aprendido de la secuencia de cálculo (o álgebra de la escuela secundaria, etc). $X$ y $Y$ son establece . Eso es todo lo que sabemos. Claro, podrían ser conjuntos de números. También podrían ser el conjunto de recetas de pasteles de tu bisabuela o el conjunto de coches matriculados en Massachusetts entre el 3 de enero de 1982 y el 28 de septiembre de 1994. Son sólo conjuntos .

Por lo tanto, si $f:X\rightarrow Y$ y lo que significa para $f$ sea inyectiva es que para todo $x_1,x_2\in X$ si $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$ .

(b) Sí, dado un conjunto $X$ la función de identidad $1_X:X\rightarrow X$ se define por $1_X(x)=x$ para todos $x\in X$ .

(c) No, no estoy seguro de lo que quieres decir con tu anotación. La condición dice que para todas las funciones $h_1:Z\rightarrow X$ y $h_2:Z\rightarrow X$ , $f\circ h_1=f\circ h_2$ implica $h_1=h_2$ .

Ahora, aquí hay algunas pistas. Mostraremos que (a) implica (b), (b) implica (c), y (c) implica (a).

Para (a) $\Rightarrow$ (b), suponga que $f$ es inyectiva. Así, para todo $x_1,x_2\in X$ , si $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$ . Ahora queremos demostrar que (b) se mantiene. Por lo tanto, tenemos que encontrar una función $g:Y\rightarrow X$ tal que $g\circ f=1_X$ --ie $g(f(x))=x$ para todos $x\in X$ .

Así que, escoge algunos $y\in Y$ . Si $y=f(x)$ --es decir, si $y$ es a imagen y semejanza de $f$ --entonces qué elemento de $X$ debemos elegir para $g(y)$ ? ¿Y si $y$ no es a imagen y semejanza de $f$ (es decir $y\not=f(x)$ para cualquier $x\in X$ )? Recuerde queremos elegir $g$ tal que $g(f(x))=x$ para todos $x\in X$ .

Para (b) $\Rightarrow$ (c), suponemos ahora que existe una función $g:Y\rightarrow X$ tal que $g\circ f = 1_X$ . Elija dos funciones arbitrarias $h_1,h_2:Z\rightarrow X$ tal que $f\circ h_1=f\circ h_2$ . Tenemos que demostrar que $h_1=h_2$ (es decir $h_1(x)=h_2(x)$ para todos $x\in X$ ).

Hmmmm, así que echa un vistazo a la ecuación $f\circ h_1=f\circ h_2$ . ¿Hay algo que podamos hacer a ambos lados que nos permita concluir que $h_1=h_2$ ? Como pista adicional, la composición de funciones es asociativa.

Para (c) $\Rightarrow$ (a), supongamos que para cualquier conjunto $Z$ y para dos funciones cualesquiera $h_1,h_2:Z\rightarrow X$ , siempre que $f\circ h_1=f\circ h_2$ entonces $h_1=h_2$ .

Ahora queremos demostrar que $f$ es inyectiva. Entonces, supongamos que $f(x_1)=f(x_2)$ para algunos $x_1,x_2\in X$ . Tenemos que demostrar que $x_1=x_2$ . Sabes, apuesto a que podemos salirnos con la nuestra eligiendo $Z=X$ ...¿puede pensar en un par de funciones $h_1$ y $h_2$ de $X$ a $X$ tal que $f\circ h_1=f\circ h_2$ y que también tienen $h_1(x_1)=x_1$ y $h_2(x_1)=x_2$ ? Si es así, podemos concluir que $x_1=x_2$ (¿por qué?).