Dada la posibilidad de que cada caballo gane una carrera, ¿cuál es la probabilidad de que un caballo específico termine en enésimo lugar?

Question

Me he interesado en calcular la probabilidad de que un caballo específico termine en la enésima posición dada la probabilidad de que cada caballo gane en una carrera particular.

Es decir, dado lo siguiente:

Horse    Chance of winning
A        0.35
B        0.25
C        0.15
D        0.10
E        0.09
F        0.05
G        0.01

Calcule para cualquier caballo su probabilidad de terminar en enésimo lugar. Por ejemplo, calcule la probabilidad de que el caballo C termine en segundo lugar, o calcule la probabilidad de que el caballo B termine en tercer lugar.

Pensé que esto es algo con lo que podría obtener ayuda en línea. Todos los artículos de revistas que he encontrado hablan de las probabilidades de que un par de caballos gane, es decir, la probabilidad de que el caballo A gane y el caballo B quede en segundo lugar, lo que obviamente es diferente a esta pregunta.

Esto: http://forum.sbrforum.com/handicapper-think-tank/526381-win-v-place-odds-value-math-question.html#post5076725 es lo más parecido que he encontrado a lo que busco, pero creo que parte de la base de que dado que un caballo gana, los demás tienen las mismas posibilidades de quedar en segundo lugar, lo que evidentemente no es así.

ACTUALIZACIÓN

Acabo de tener tiempo para probar esto y estoy tratando de llegar a una fórmula para P(i, n) como @ThanosDarkadakis sugirió.

No estoy seguro de que las probabilidades de que HorseZ termine tercero sean:

sum of HorseXWin * HorseY2nd * (HorseZWin/(1-HorseXWin-HorseY2nd)), for each X/Y

o

sum of HorseXWin * HorseY2nd * (HorseZWin/(sum of remaining win probabilities)), for each X/Y

o

sum of HorseXWin * HorseYWin * (HorseZWin/(1-HorseXWin-HorseYWin)), for each X/Y

Donde el CaballoX es el ganador de la carrera, el CaballoY es segundo y el CaballoZ es tercero (para cada X/Y).

Estoy seguro de que con una fórmula para P(i, 3) sería trivial escribir una fórmula para P(i, n). Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

En primer lugar, vamos a suponer que si el caballoD tiene el doble de posibilidades que el caballoF de terminar en primer lugar en una carrera de 7 caballos, entonces también tiene el doble de posibilidades de terminar en primer lugar cuando hay 100 caballos o 2 caballos o n caballos. (No está definido si esto es cierto o no. Seguiré suponiendo esto).

Tomemos su ejemplo: "calcular la posibilidad de que HorseC termine en segundo lugar"

Si el caballoA termina en primer lugar (0,35), la probabilidad de que el caballoC termine en segundo lugar (primero entre los demás) es $\frac{0.15}{0.25+0.15+0.10+0.09+0.05+0.01}=\frac{0.15}{1-0.35}$ . Así que esta probabilidad es $0.35\frac{0.15}{1-0.35}$ .

Del mismo modo, si el caballo B termina en primer lugar, la probabilidad de que el caballo C termine en segundo lugar es $0.25\frac{0.15}{1-0.25}=P_B\frac{P_C}{1-P_B}$ .

La probabilidad total de que el caballo i acabe 2º es la suma de éstas:

$P(i,2)=\sum_{i\neq j}{P_j\frac{P_i}{1-P_j}}$ .

¿Puede continuar para encontrar una fórmula general para $P(i,n)$ ?

Answer 2

Recientemente he publicado un artículo en el SIAM Journal on Quantitative Finance que aborda esta cuestión, y también ofrece un análisis de por qué otras respuestas en este hilo, pasadas, presentes y quizás futuras, son probablemente inexactas. Esas respuestas suelen asumir el axioma de elección de Luce y, por tanto, reinventan la fórmula que lleva el nombre de Harville. Por desgracia, no hay una razón teórica o empírica terriblemente convincente para creer que la probabilidad condicional de que un caballo acabe segundo deba ser igual a su probabilidad renormalizada de ganar (renormalizada por la eliminación del ganador, por supuesto).

En cambio, en este artículo considero el problema general de calibrar un modelo de rendimiento con probabilidades de ganar. En un problema de carreras de caballos continuas podríamos suponer una densidad $f^*$ con la distribución $F^*$ y luego buscar los parámetros $(a_1,\dots,a_n)$ modificando $f^*$ de alguna manera (normalmente por la escala o la ubicación) para satisfacer \begin{equation} \label{eqn:continuous} p_i = \int f^*(x;a_i) \Pi_{j\neq i}^n \left( 1- F^*(x;a_j)\right) dx \end{equation} para algunas probabilidades de ganar especificadas $p_i$ . Presto especial atención al caso en el que la distribución del rendimiento de cada caballo es una traducción de cada uno de los otros. Proporciono un algoritmo numérico rápido y un código abierto para resolver este problema de inversión.

Una vez que se ha llegado a un modelo de rendimiento razonable, se pueden calcular todas las demás cantidades, incluidas las probabilidades de quedar segundo y tercero. Puede encontrar más detalles en el papel y estaré encantado de copiar más aquí si así se solicita. Sin embargo, sospecho que querrá el código y el README explica el uso.

El resultado es un modelo de rendimiento como el siguiente:

Por cierto, estoy editando esto después de varios años, así que dejaré aquí el hecho de que esto es la continuación de una discusión anterior del caso general en http://finmathblog.blogspot.com/2013/09/the-horse-race-problem-general-solution.html

Actualización 2021. Ahora estoy haciendo un concurso en vivo para ver si hay mejores formas. Ver ¿Cuál es la probabilidad de que un caballo acabe último?