¿Cómo encontrar una fórmula de suma general para la serie: 5 + 55 + 555 + 5555 + .....?

Question

Tengo una pregunta sobre cómo encontrar la fórmula de la suma de los términos n-ésimos.

Aquí está la serie:

$5+55+555+5555$+......

¿Cuál es la fórmula general para encontrar la suma de los términos n-ésimos?

Mis intentos:

Creo que necesito separar el 5 de esta serie de la siguiente manera:

$5(1+11+111+1111+....)$

Luego, creo que necesito convertir la expresión entre paréntesis en una suma más sencilla:

$5(1+(10+1)+(100+10+1)+(1000+100+10+1)+.....)$

\= $5(1*n+10*(n-1)+100*(n-2)+1000*(n-3)+....)$

Hasta la última afirmación, no sé cómo continuar. ¿Hay alguna idea para encontrar la solución general de esta serie?

Gracias

Answer 1

$$5+55+555+5555+\cdots+\overbrace{55\dots5}^{n\text{ fives}}$$ $$=\frac59(9+99+999+9999+\cdots+\overbrace{99\dots9}^{n\text{ nines}})$$ $$=\frac59(10^1-1+10^2-1+10^3-1+\cdots+10^n-1)$$ $$=\frac59(10^1+10^2+10^3+\cdots+10^n-n)$$ $$=\frac59\left(\frac{10^{n+1}-10}{9}-n\right).$$

Answer 2

Usando la suma de una serie geométrica finita dos veces:

$$5+55+555+\ldots+\overbrace{55...5}^{n\;\text{veces}}=\sum_{k=0}^n\left(5\cdot 10^k+5\cdot10^{k-1}+\ldots+5\cdot 10+5\right)=$$

$$=5\sum_{k=0}^n\frac{10^{k+1}-1}9=...\text{etc.}$$

Answer 3

Aquí hay una relación de recurrencia:

• $a_0=5$
• $a_n=10a_{n-1}+5(n+1)$

Al convertir esto en una fórmula directa, obtienes: $$\frac{5\cdot10^{n+2}-45n-95}{81}$$

Answer 4

Pista: En lugar de reunir los términos en $10^r$ juntos como tienes, intenta primero sumar $10^{n-1} + 10^{n-2} + \dots + 1$ como una progresión geométrica - lo cual debería darte un término en $10^n$ más una constante. Las constantes son fáciles de sumar, y los términos en $10^n$ son otra progresión geométrica.

Answer 5

Creo que algo como

$$5\sum_{i=0}^n (n+1-i)10^{i}$$

debería funcionar.

Alguna explicación de cómo funciona: Primero que nada, reescribo como: $5(1 + 11 + 111 + \ldots)$. Luego noto que también puedo construir esta suma agregando números de la forma $10^i$, considerando que en cada dígito el número debe ser sumado múltiples veces dependiendo de la longitud del número. Por ejemplo:

• $n=0$: $\,5 \cdot 10^0 = 5$
• $n=1$: $\,5 \cdot (2 \cdot 10^0 + 1 \cdot 10^1)= 5 \cdot (2 + 10) = 60$
• $n=2$: $\,5 \cdot (3 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^2)= 5 \cdot (3 + 20 + 100) = 615$

y así sucesivamente...