Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: $\sin x + \cos x = \frac{1}{3} $

Question

Tengo que resolver la siguiente ecuación:

$$\sin x + \cos x = \dfrac{1}{3} $$

Utilizo la siguiente sustitución:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \longrightarrow \sin x = \sqrt{1-\cos^2 x}$$

Y por operar, obtengo: $$ \sqrt{(1-\cos^2 x)} = \dfrac{1}{3}-\cos x$$

$$ 1 - \cos^2 x = \dfrac{1}{9} + \cos^2 x - \dfrac{2}{3}\cos x$$

$$ -2\cos^2 x + 2/3\cos x +\dfrac{8}{9}=0$$

$$ \boxed{\cos^2 x -\dfrac{1}{3}\cos x -\dfrac{4}{9} = 0}$$

¿Puedo sustituirlo por $\cos x$ por $z$ y resolver como si fuera una simple ecuación de segundo grado y entonces obtener $x$ ¿tomando el coseno inverso? He intentado hacerlo pero no consigo obtener el resultado correcto. Si hago esto, obtengo los siguientes resultados:

$$ z_1 = -0.520517 \longrightarrow x_1 = 121.4º\\ z_2= 0.8538509 \longrightarrow x_2 = 31.37º$$

Obtengo $x$ de $z$ tomando el coseno inverso.

El resultado correcto debería ser alrededor de 329º que corresponde a 4,165 rad. Mi pregunta es si lo que estoy haciendo es incorrecto porque lo he intentado varias veces y obtengo el mismo resultado (o en el peor de los casos, he cometido el mismo error varias veces).

Answer 1

Sugerencia: Creo que el enfoque de @JanEerland es instructivo. Aquí algunas ideas de cómo podríamos encontrar este tipo de sustitución.

Al mirar \begin{align*} \sin x+\cos x=\frac{1}{3} \end{align*} y pensamos en el fórmulas de adición trigonométrica sabemos que \begin{align*} \sin(x+a)=\sin x \cos a+\cos x\sin a \end{align*} Sería conveniente que $\cos a=\sin a$ para poder separarlas. Este es el caso si $a=\frac{\pi}{4}$ y obtenemos \begin{align*} \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) &=\sin x\sin \frac{\pi}{4}+\cos x\cos \frac{\pi}{4}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x+\cos x\right) \end{align*} De ello se desprende \begin{align*} \sin x+\cos x&=\frac{1}{3}\\ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{1}{3\sqrt{2}} \end{align*}

Answer 2

$$\cos(x)+\sin(x)=\frac{1}{3}\Longleftrightarrow$$

---

Utilizar:

$$\cos(x)+\sin(x)=\sqrt{2}\left[\frac{\cos(x)}{\sqrt{2}}+\frac{\sin(x)}{\sqrt{2}}\right]=$$ $$\sqrt{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x)+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x)\right)=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$$

---

$$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{1}{3}\Longleftrightarrow$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{1}{3\sqrt{2}}$$

Ahora, cuando tomamos el seno inverso de ambos lados, tenemos dos opciones, con $n_1\space\wedge\space n_2\in\mathbb{Z}$ :

• $$\frac{\pi}{4}+x=\pi-\arcsin\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)+2\pi n_1\Longleftrightarrow x=\frac{3\pi}{4}-\arcsin\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)+2\pi n_1$$
• $$\frac{\pi}{4}+x=\arcsin\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)+2\pi n_1\Longleftrightarrow x=\arcsin\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)+2\pi n_2-\frac{\pi}{4}$$

Answer 3

Tenemos después de elevar al cuadrado $$\sin(x)^2+\cos(x)^2+\sin(2x)=\frac{1}{9}$$ o $$\sin(2x)=-\frac{8}{9}$$ la respuesta es $$c_1\in \mathbb{Z}\land \left(x=2 \pi c_1+2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{10} \left(9-\sqrt{161}\right)\right)\lor x=2 \pi c_1+2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{10} \left(9+\sqrt{161}\right)\right)\right)$$

Answer 4

Otros han propuesto otros métodos correctos para resolver la ecuación. Propongo completar su método elegido (finalmente correcto).

Hay dos problemas con su solución:

1. Has sacado una raíz cuadrada de ambos lados en la segunda línea de tu solución, y luego has elevado al cuadrado ambos lados en la cuarta línea. Ambos pasos pierden información sobre el signo de las expresiones, e introducen la posibilidad de encontrar raíces que, de hecho, no son raíces correctas, sino raíces extrañas . Por lo tanto, en estos casos, (¡quizás en todos!) se deben verificar todas las soluciones posibles mediante la sustitución en la ecuación original.
2. Siempre que utilices una función trigonométrica inversa para encontrar un ángulo, debes recordar que siempre hay dos ángulos en el rango de $0$ a $2\pi$ que satisfacen la ecuación trigonométrica dada. (Excepto en casos extremos como $90^o$ )

Lo has encontrado: $$ z_1 = -0.520517 $$ Mi calculadora me da $121.37^o$ como la solución. Pero como la función coseno es negativa en la segunda y tercero cuadrantes, la otra solución es $238.63^o$ .

De la misma manera, $$ z_2 = 0.8538509 $$ da $31.37^o$ . Pero el coseno es positivo en la primera y cuarto cuadrante, por lo que $328.63^o$ es otra posible respuesta.

Si se introducen estos cuatro valores en la ecuación original se obtendrán los valores (sólo uno en este caso) que se aplican a la ecuación original.

Aparte de estos dos pasos, su solución es correcta.

Answer 5

Puedes abordar este problema con la sustitución $$ \begin{cases} X=\cos x\\[4px] Y=\sin x \end{cases} $$ que transforma la ecuación en $$ \begin{cases} X+Y=\dfrac{1}{3} \\[6px] X^2+Y^2=1 \end{cases} $$ Reescribiendo la segunda ecuación como $(X+Y)^2-2XY=1$ podemos sustituir y obtener $$ \begin{cases} X+Y=\dfrac{1}{3} \\[6px] XY=-\dfrac{4}{9} \end{cases} $$ que conduce a la ecuación de resolución $$ z^2-\frac{1}{3}z-\frac{4}{9}=0 $$ (encontrar dos números conociendo su suma y su producto). Después de reescribirlo como $9z^2-3z-4=0$ encontramos las raíces $$ \frac{1-\sqrt{17}}{6},\qquad \frac{1+\sqrt{17}}{6} $$ Por lo tanto, las soluciones al problema original son $$ \begin{cases} \cos x=\dfrac{1-\sqrt{17}}{6},\\[6px] \sin x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{6} \end{cases} \qquad \begin{cases} \cos x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{6},\\[6px] \sin x=\dfrac{1-\sqrt{17}}{6} \end{cases} $$ Podemos expresar las soluciones en términos de la arctangente observando que en el primer caso el ángulo (principal) está en el intervalo $(\pi/2,\pi)$ y su tangente es $$ \frac{1+\sqrt{17}}{1-\sqrt{17}}=-\frac{9+\sqrt{17}}{8} $$ por lo que la solución correspondiente es $$ \pi-\arctan\frac{9+\sqrt{17}}{8}+2k\pi $$ En el segundo caso el ángulo (principal) está en el intervalo $(-\pi/2,0)$ y su tangente es $$ \frac{1-\sqrt{17}}{1+\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}-9}{8} $$ por lo que la solución correspondiente es $$ \arctan\frac{\sqrt{17}-9}{8}+2k\pi $$

---

Hay otro procedimiento que no introduce soluciones extrañas: recuerda las relaciones $$ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2} $$ donde $t=\tan\dfrac{x}{2}$ .

Esto es posible porque $x=\pi$ no es una solución de la ecuación. Entonces se obtiene $$ \frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1}{3} $$ que se simplifica en $$ 2t^2-3t-1=0 $$ por lo que se obtiene $$ \tan\frac{x}{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{4} \qquad\text{or}\qquad \tan\frac{x}{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{4} $$ y así $$ x=2\arctan\frac{3+\sqrt{17}}{4}+2k\pi \qquad\text{or}\qquad x=2\arctan\frac{3-\sqrt{17}}{4}+2k\pi $$ En grados, la primera solución corresponde a $\approx121.367^\circ$ y el segundo a $\approx-58.633^\circ$