$a,b,n,d\in \mathbb N$ . $a,b,d$ son números diferentes del intervalo $(n^2;n^2+n)$ . Demuestra que no puede ser cierto que $d|ab$ .

Question

$a,b,n,d\in \mathbb N$ . $a,b,d$ son números diferentes del intervalo $(n^2;n^2+n)$ . Demuestra que no puede ser cierto que $d\mid ab$ .

Este es un problema interesante y no sé cómo empezar, así que me gustaría que alguien me ayudara. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $d=n^2+x,a=n^2+y,b=n^2+z$ con pares distintos $1\leq x,y,z<n$ .

Supongamos que $d\mid ab$ . Entonces $$0\equiv(n^2+y)(n^2+z)\equiv(y-x)(z-x) \mod n^2+x.$$ Pero $0\neq |(y-x)(z-x)|<n^2<n^2+x$ , una contradicción con $(n^2+x) \mid (y-x)(z-x)$ .

Answer 2

Sugerencia $\ \ $ Si $\,\rm\ A_i \equiv a_i\pmod d\ $ entonces $\rm\ d\mid A_1 A_2\iff d\mid a_1 a_2,\, $ que falla si $\rm\ 0 < |a_i| < \sqrt{d}.\ $

Así, tenemos un simple prueba de indivisibilidad: para "pequeño" $\rm\,a_i \equiv A_i,\,$ verificar que $\rm\,0 < |a_i| < \sqrt d. $

Por ejemplo, $\rm\ 30\nmid \color{#c00}{25}\cdot \color{#0a0}{34}\ $ por $\ 0 < \color{#c00}5,\color{#0a0}4 < \sqrt{30}.\, $ La aplicación de esta prueba resuelve rápidamente su problema.

Nota: $ $ Este es un simple ejemplo del principio general de que la conversión de los problemas de divisibilidad en el ecuación El lenguaje de la aritmética modular a menudo produce grandes simplificaciones, ya que nos permite reutilizar nuestra intuición bien afinada sobre la aritmética de números enteros.