¿Es verdadera esta afirmación: un conjunto es abierto si cada punto tiene una bola cerrada contenida en el conjunto

Question

¿Es cierta esta afirmación?

Set $S$ (en un espacio métrico) es abierto si $\forall x \in S$ , $\exists \delta > 0,$ s.t. $\thinspace \overline B_\delta(x) \subset X$

Me despista un poco la definición de bola cerrada en lugar de bola abierta de conjunto abierto. Puede alguien verificar la afirmación anterior y mostrar cómo es lo mismo que la bola abierta.

Answer 1

Pista: demuestre que $\overline{B}_r(x) \subseteq B_\delta(x)$ por cada $r < \delta$ .

Y claramente $B_\delta(x) \subseteq \overline{B}_\delta(x)$ para todos $x$ y todos $\delta$ .

Así, cada bola cerrada contiene una bola abierta más pequeña con el mismo centro, y cada bola abierta contiene también una bola cerrada más pequeña con el mismo centro.

Así que para la apertura podemos utilizar tanto bolas abiertas como bolas cerradas.

Answer 2

Escoge $x\in S$ . Entonces hay una bola cerrada alrededor que está contenida en S. Hay una bola abierta con un radio ligeramente menor que está centrada alrededor de $x$ , por lo que también está contenida en S. Así que $x$ es un punto interior de $S$ .

Más formalmente, para $x\in S$ existe alguna $\delta>0$ para que $\overline{B_\delta(x)} \subset D$ . Entonces para $0<d<\delta$ , $B_d(x)\subset S$ .

Answer 3

Obsérvese que se puede escribir el conjunto

$$S = \bigcup_{x \in S} B_{\delta/2}(x) $$

como una unión de conjuntos abiertos, que por lo tanto es abierta, como se desea. QED .

Answer 4

Las otras dos respuestas son correctas, pero no llegan al contenido métrico del problema...

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico, $S \subset X$ y $x \in S$ . Si $S$ está abierto, entonces $X \setminus S$ está cerrado, por lo que $\mathrm{dist}(x, X \setminus S)$ existe y es positivo. En caso contrario, si $x \in \partial S$ , $\mathrm{dist}(x, X \setminus S)$ es sólo no negativo. Establezca $\delta= \frac{1}{2} \mathrm{dist}(x, X \setminus S)$ . Entonces $\overline{B_\delta (x)} \subset S$ .

Tenga en cuenta que $\delta = \frac{1}{2}\mathrm{dist}(\dots)$ no es esencial. Podemos elegir y $\eta \in (0,1)$ y $\delta = \eta \mathrm{dist}(\dots)$ también funciona. En cualquier caso, si $x$ puede ser elegido en $\partial S$ , $\delta$ se ve obligado a $0$ y la hipótesis (" $\forall x \in S, \exists \delta > 0 \dots$ ") no se sostiene.