Denota por $\Bbb R$ la línea real y por $\Bbb R^*$ la línea hiperreal. Para cualquier número real $x < y < z$ e infinitesimal $\epsilon$ se mantiene lo siguiente: \begin {Ecuación} \forall a,b,c \in \Bbb R:~~~x + a \cdot \epsilon <y+b \cdot \epsilon <z +c \cdot \epsilon \end {ecuación} Esto, junto con la ordenación de $\Bbb R$ siendo un subconjunto de la ordenación de $\Bbb R^*$ me hace pensar que existe una analogía entre la línea hiperreal y la línea larga abierta, entendida como una infinidad contable ordenada de líneas reales.
Sin embargo, la línea hiperreal contiene al menos una infinidad incontable de líneas reales, una por cada número real. Luego están los infinitos hiperreales. Así que la topología no es la misma.
¿Cuál es la topología de la línea hiperreal?
0 votos
Por supuesto, existe una topología de orden. Pero no es especialmente útil; su noción de convergencia no es realmente la noción de convergencia que "queremos". Por otro lado, la "métrica hiperreal" (es decir, la extensión natural de $d(x,y)=|x-y|$ ) no forma una métrica, por lo que no nos da una topología.
1 votos
Nótese que, además de cualquier hiperreal infinitesimal $\epsilon$ También tiene $\sqrt\epsilon$ , $\epsilon^2$ , $\ln\epsilon$ y todas sus inversas. EDIT: Estoy bastante seguro de que $\ln\epsilon$ es negativamente infinito, sin embargo.
1 votos
@Ian ¿Qué quieres decir con ese comentario sobre la convergencia? (Ni siquiera estoy seguro de cómo funcionaría la convergencia en $\mathbb R^*$ . $(\frac1n)_{n\in\mathbb Z^+}$ no converge a nada, por ejemplo, porque cada elemento de esa secuencia es mayor que cada número infinitesimal, y no hay ni un infinitesimal mayor ni un real menor. Los hiperreales no son completos).
0 votos
@Ian, quizás si utilizamos la pseudométrica de "parte estándar" definida como $d(x,y) = std(|x-y|)$ ? Podemos utilizarlo para definir los conjuntos abiertos en $\Bbb R*$ (al menos en la parte finita), pero la topología sería no Hausdorff.
0 votos
@columbus8myhw Me refiero a que la topología de orden no nos da una noción de convergencia de hiperreales adecuada para el análisis. En realidad estoy de acuerdo contigo en que no creo que haya una noción de convergencia de los hiperreales que sea apropiada para el análisis.
0 votos
@AndreaDiBiagio Sobre la parte finita, eso solo nos da la línea real ordinaria de nuevo, porque topológicamente acabas de colapsar la nube de hiperreales infinitamente cercanos a cada real en un punto.
0 votos
En cualquier ¿secuencia hiperreal converge? EDITAR: ¿ $(\frac1n)_{n\in\mathbb N^*}$ convergen a $0$ ? Dónde $\mathbb N^*$ son los hipernaturales. Yo creo que sí, porque $\forall x>0,\exists N\in\mathbb N^*,(\frac1N<x)$ por el principio de transferencia.
0 votos
(Perdón por el ligero off-topic-ness) Creo que una secuencia hiperreal nunca converge si está indexada por $\mathbb N$ y siempre converge si está acotado y está indexado por $\mathbb N^*$ .
0 votos
@columbus8myhw, es $\Bbb N^*$ sólo $\Bbb N$ más dos puntos en el infinito?
2 votos
@AndreaDiBiagio Es $\mathbb N$ (los enteros no negativos) más infinitamente muchos puntos en $+\infty$ . Más concretamente, todos son hiperreales infinitos $N$ tal que $\lfloor N\rfloor=N$ . (Esto tiene sentido debido al principio de transferencia.) Con la construcción del ultrafiltro, todos son secuencias de enteros (bajo el ultrafiltro).
2 votos
Los hipernaturales satisfacen en realidad los axiomas de Peano (de primer orden), según creo. El principio de inducción - que si $\phi(x)$ es una propiedad de primer orden, $\phi(0)$ se mantiene, y $\phi(x)\implies\phi(x+1)$ entonces $\phi(x)$ es válida para todos los $x$ - funciona por el principio de transferencia. Además, hay un número incontable de hipernaturales, porque $f:\mathbb R\to\mathbb N^*$ definido por $f(x)=\lfloor Nx\rfloor$ es uno a uno. (Donde $N$ es infinito).