Pensé que era fácil demostrar que $\sqrt {2 \sqrt {3 \sqrt {4 \ldots}}}$ es irracional, pero encontró un hueco en mi prueba. Simples aproximaciones finitas muestran que el denominador no puede ser pequeño, sin embargo, que sugieren fuertemente la irracionalidad. ¿Sin embargo, puede ser demostrado si este número es algebraico o transcendental? Mi corazonada es que es trascendental pero no tengo ni idea sobre cómo iniciar esta prueba (sobre todo porque yo no puedo llenar mi vacío para demostrar la irracionalidad).
Respuestas
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user8269
Puntos
46
Esta no es una respuesta, sólo una lista de los documentos de que se trate con esta constante; es demasiado largo para un comentario. Va por los comentarios de los artículos, que tratan con métodos eficientes para el cálculo de la constante, y no (directamente) con preguntas de irracionalidad y/o la trascendencia. El primer documento en la lista es demasiado nuevo que han sido revisados en este punto.
MR3349435
Lu, Dawei, Canción, Zexi;
Algunos de los nuevos continuó fracción estimaciones de la Somos' cuadrática recurrencia constante.
J. Teoría De Los Números 155 (2015), 36-45.
MR3019753
Chen Chao-Ping
Nuevas expansiones asintóticas relacionados a Somos' cuadrática recurrencia constante.
C. R. De Matemáticas. Acad. Sci. París 351 (2013), no. 1-2, 9-12.
MR2825112 (2012h:11181)
Hirschhorn, Michael D.
Una nota sobre Somos' cuadrática recurrencia constante.
J. Teoría de los números 131 (2011), no. 11, 2061-2063.
MR2809034 (2012e:05038)
Nemes, Gergő
En los coeficientes de un asintótica relacionados con expansión a Somos' cuadrática recurrencia constante.
Appl. Anal. La Matemática Discreta. 5 (2011), no. 1, 60-66.
MR2684487 (2011i:11179)
Mortici, Cristinel
La estimación de la Somos' cuadrática recurrencia constante.
J. Teoría de los números 130 (2010), no. 12, 2650-2657.
MR2319662 (2008f:40013)
Sondow, Jonathan; Hadjicostas, Petros
La generalizada-de Euler-función constante $\gamma(z)$ y una generalización de Somos del cuadrática recurrencia constante.
J. Math. Anal. Appl. 332 (2007), no. 1, 292-314.
MR2262724 (2008b:11081)
Hessami Pilehrood, Khodabakhsh; Hessami Pilehrood, Tatiana
Aritmética de las propiedades de algunas series con logarítmica de los coeficientes.
De matemáticas. Z. 255 (2007), no. 1, 117-131.
frogeyedpeas
Puntos
4486
Existe una diferencia finita de la formulación de este problema. Esto no resuelve su problema, pero puede ser al menos un poco esclarecedor, Considere la posibilidad de $f(x)$ tal que
$$ f(x) = x\sqrt{f(x+1)} $$
Luego se sigue
$$ f(x) = x \sqrt{(x+1) \sqrt{(x+2) \sqrt{... }}} $$
Y $f(1)$ es el valor que se desea evaluar.
Otra forma de escribir que es
$$ \frac{f(x)^2}{x^2} = f(x+1) $$
Deje $f(x) = 2^{g(x)} $
$$ \frac{2^{2g(x)}}{x^2} = 2^{g(x+1} $$
Tomando el logaritmo de ambos lados de la base-2
$$ 2g(x) - 2\log_2{x} = g(x+1) $$
Ahora podemos evaluar, esto como una carrera de la fábrica de diferencias finitas de la ecuación de G
$$ D_{1,x}g - g = -2\log_2{x} $$
(... un montón de trabajo que podrás comentar y solicitar si quieres ...)
$$ 2^{1-x}g = -D_{1,x}^{-1}\left[2^{1-x}\log_2{x} \right] $$
Por lo que se deduce que
$$ g = -2^{x-1}D_{1,x}^{-1}\left[2^{1-x}\log_2{x} \right] $$
Y que
$$ f = 2^{ -2^{x-1}D_{1,x}^{-1}\left[2^{1-x}\log_2{x} \right]} $$
Tenga en cuenta que $f(0) = 0$ y por lo tanto la expresión
$$ D_{1,x}^{-1}\left[2^{1-x}\log_2{x} \right] $$
debe tender a infinito positivo como $x$ tiende a 0. Analíticamente no estoy seguro de cómo continuar. Pero ponerlo en Wolfram Alpha rendimientos:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2B1%29+-+f%28x%29+%3D+2%5E%7B1-x%7Dlog_2%28x%29
Que la expresión es dependiente de polylogarithms (sorprendente) y algo que se llama la lerch trascendente (creo que esto tiene que ver con la generalización de la de riemann zeta función).
Así que si usted decide ir por el de las diferencias finitas camino, parece que usted podría estar usando algunos pesados de la teoría analítica de números herramientas para determinar si la expresión es trascendental.
