Si A y (AB-BA) conmutación, demostrar que AB-BA es nilpotente

Question

Posibles Duplicados:
Álgebra lineal,respecto de conmutacion

Deje $A$ $B$ dos $n\times n$-matrices de más de algún campo de la característica $0$. Si $A$ $AB-BA$ viaje, muestran que $AB-BA$ es nilpotent.

Mi hermano me pidió ayuda en esto, pero estoy bastante de vergonzosamente no se puede averiguar. Yo vagamente recordar la resolución de un problema similar en la escuela, pero con la condición añadida de que B también desplazamientos con (AB-BA).

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Este es un resultado llamado Jacobson Lema, probada por primera vez en el artículo "el método Racional en la Teoría de Álgebras de Lie" por Nathan Jacobson.

Permítanme esencialmente reproducir su muy ingeniosa prueba aquí.

Primero tengamos en cuenta que el colector satisface propiedades muy similares a las de un derivado. Corregir algunos $M$ y considerar la posibilidad de $[M,\ A] = A'$ como un operador en $A$. Observe que $$(A+B)' = A' + B',\ \ (cA)' = cA'$$ para matrices $A,\ B$ y escalares $c$, de modo que el operador es lineal. También satisface el producto de la regla de $$(AB)' = MAB - ABM = (MA - AM)B + A(MB - BM) = A'B + AB'$$ Si $A$ $A'$ conmuta, entonces podemos recuperar el poder de la regla en la forma de $$(A^k)' = kA^{k-1}A'$$ para ver esto, procedemos por inducción con el caso base ya cubierto. Entonces $$(A^{k+1})' = A'A^k + A(A^k)' = A'A^k + A(kA^{k-1})A' = (k+1)A^{k}A'$$ Como consecuencia, si tenemos $p(A)$ para algunos polinomio $p$, luego tenemos a la identidad $$[p(A)]' = p'(A)A'$$ donde $p'$ el (ordinario) derivada del polinomio $p$. Ahora toma un poco de aniquilar polinomio de $A$ tal que $p(A) = 0$. A continuación, considere repetidamente "diferenciar" el polinomio $$[p(A)]' = p'(A)A' = 0$$ $$[p(A)]'' = [p'(A)A']' = p''(A)A'A' + p'(A)A'' = 0$$ Ahora note que $A'A = AA'$ implicará $A''A = AA''$ así que hagamos un post multiplicar por $A'$ tener $$p''(A)(A')^3 + p'(A)A'A'' = p''(A)(A')^3 = 0$$ Si seguimos de esta manera, vamos a encontrar que $$[p(A)]^{(k)} = p^{(k)}(A)(A')^{2k-1} = 0$$ donde el superíndice $(k)$ indica el $k$th derivados. En particular, si $p$ $n$th grado, entonces $$p^{(n)}(A)(A')^{2n-1} = n!(A')^{2n-1} = 0$$ lo que muestra que $A'$ es nilpotent.

Answer 2

Consejo: Aviso $A$ es nilpotente iff $Tr(A^j) = 0$ % todo $j >0$(a prueba)?