Acerca de phi

Question

Encuentra todos los enteros positivos n tales que $ \phi(n) |n $

Encontrar $n=2^k ,2^k ×3^j$ es la respuesta, no encuentro otra respuesta.

Answer 1

Sugerencia: Utilice el siguiente hecho de-

Para cualquier entero positivo $n$ con primera factorización $$n=\prod_i^k p_i^{a_i}$$ where $ p_i $'s are the prime factors of $n $, $$\phi(n)=n\prod_i^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$$ $% $ $=\prod_i^k p_i^{a_i-1}\left(p_i-1\right)$

Por lo tanto, puesto que tiene $\phi(n)|n$, la condición necesaria es %#% $ #%

Answer 2

Utilizando la fórmula de $\phi (n)$ como ser @ScrondingersCat,

$\phi (n) |n$ es equivalente a

$s=(p_1-1)(p_2-1)....(p_k-1)|p_1p_2p_3.....p_k=t$

Asumir WLOG $p_1=2$ (es extraño que no es posible excepto cuando $t$ $n=1$

Desde entonces, debemos tener $v_2(s) \leq v_2(t)=1$.

Así, $v_2(s)=1$ % que $k=2$o $v_2(s)=0$ $n=2^m$ que

Ahora, $k=2$ tenemos $p_2-1|2p_2$. Así, $p_2=3$

Así, $n=2^m3^j$

Answer 3

$n=1$ es una solución. Luego, $n\ge 2$, que $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ de ser el única facturización primera de $n$ $p_1<p_2<\cdots < p_k$ y $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k\ge 1$.

$$\phi(n)=p_1^{\alpha_1-1}p_2^{\alpha_2-1}\cdots p_k^{\alpha_k-1}(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_k-1)$$

$$\phi(n)\mid n\iff \frac{p_1p_2\cdots p_k}{(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_k-1)}\in\mathbb Z$$

Si $k=1$, entonces el $p_1-1\mid p_1$, que $p_1-1\mid p_1-(p_1-1)=1$, que $p_1=2$ y $n=2^{\alpha_1}$, que es una solución para todos los $\alpha_1\in\mathbb Z^+$.

Si es divisible por $k\ge 3$ $4$, entonces el denominador y el numerador no.

Si $k=2$, entonces el $(p_1-1)(p_2-1)\mid p_1p_2$. También $\gcd(p_2-1,p_2)=1$y $p_2-1>1$, que $p_2-1=p_1$, que $p_2=3$, $p_1=2$, que $n=2^{\alpha_1} 3^{\alpha_2}$, que es una solución para todos los $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb Z^+$.