Pruebas $K$ es un grupo

Question

Ahora he probado ciertas cosas son un grupo antes, y sé que requiere:

1)Asociatividad

2)Inversa

3)Identidad

Pero aquí me pasa una cosa tan rara que quería aclarar que lo estoy haciendo bien.

Si $a,b \in \mathbb{R}$ con $a\ne0$ , dejemos que $L_{a,b}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea la función dada por $L_{a,b}(x) = ax+b$ para todos $x$ . Sea

$$K = \{L_{a,b}|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Demostrar que $K$ forma un grupo bajo composición de funciones.

Así que normalmente quieres probar alguna operación binaria como $x+y = x+y+2xy$ o algo así, y ver si cumple con lo anterior $3$ requisitos. Pero aquí no sé si quiero ver la asociatividad de cuál de las siguientes maneras:

1) $ ((ax+b) + (cy+d))+(ez+f) = (ax+b) + ((cy+d)+(ez+f))$

2) $ ((ax+b) + (cx+d))+(ex+f) = (ax+b) + ((cx+d)+(ex+f))$

3) $ ((ax+b) + (ay+b))+(az+b) = (ax+b) + ((ax+b)+(ax+b))$

4) $ ((ax+b) + (ax+b))+(ax+b) = (ax+b) + ((ax+b)+(ax+b))$

¿Cuál debo comparar?

¿Cómo obtengo la inversa y la identidad nuestra? ¿Tiene $L_{a,b}$ tienen algunos $x$ tal que $ax+b=ax+b$ así que $x=x$ para la identidad, y algunos $ax+b=x$ ?

Answer 1

Ninguno de ellos. Recuerde que la operación de grupo es composición de funciones no suma puntual.

Debe comprobar $(L_{a,b}\circ L_{c,d})\circ L_{e,f}=L_{a,b}\circ (L_{c,d}\circ L_{e,f})$ como funciones de $x$ .

Answer 2

Debemos recordar que la operación de grupo es composición de funciones y no la adición de funciones.

Así que para establecer la asociatividad, necesitamos establecer que $$(L_{a,b}\circ L_{c,d})\circ L_{e,f}=L_{a,b}\circ (L_{c,d}\circ L_{e,f})$$

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Asociatividad

$$\begin{align} (L_{a,b}\circ L_{c,d})\circ L_{e,f} & = (L_{a, b}(cx + d))\circ L_{e, f}\\ & = [a(cx + d) + b] \circ L_{e, f}\\ & =[acx + ad+b]\circ L_{e, f}\\ & = L_{ac, ad+b}(ex + f) \\ &=ac(ex+f) + (ad+b) \\ &= a(cex+cf +d) + b\\ & =L_{a, b}\circ (cex + cf + d)\\ & = L_{a, b} \circ [c(ex+f) + d ]\\ &=L_{a, b} \circ(L_{c, d}( ex + f))\\ & = L_{a, b}\circ(L_{c, d} \circ L_{e, f}) \end{align}$$

Identidad

$$L_{\text{id}}(x) = x = 1\cdot x + 0 = L_{1, 0}$$

Inversos

Sea $L_{a, b}(x) = y =ax + b$ cualquier elemento del grupo. Resolver para $y$ : $$y-b = ax \iff \frac{y-b}{a} = x$$

Así que $$L^{-1}_{a, b}(x) = \frac{x-b}{a} = \frac 1a\cdot x + \left(\frac{-b}a\right) = L_{\frac 1a, \frac{-b}a}$$ Puede confirmar que $L_{\frac 1a, \frac{-b}{a}}(x) = L^{-1}_{a, b}(x)$ componiendo las dos funciones y obteniendo la función identidad: $L_{1, 0}$ .

Answer 3

Su pregunta se reduce esencialmente a: "¿Qué elementos de $K$ ¿Cómo es?" La respuesta es obvia a partir de la definición de $K$ y $L_{a,b}$ . Cada elemento de $K$ es un polinomio de grado uno con coeficientes arbitrarios y constantes en $\mathbb R$ . Así pues, vemos que 2) es la afirmación que desea demostrar. Obsérvese también que la operación definida en $K$ es composición de funciones y no adición de funciones.