¿Cómo probar desde cero que existe $q^2\in(n,n+1)$?

Question

Dado $n$ un entero positivo, ¿cómo podría usted probar desde cero, que no existe un número racional $q$ tal que $n<q^2<n+1$?

Por "partir de cero", me refiero al no utilizar ningún "avanzado" herramientas como la densidad de los números racionales en los números reales. Sólo mediante la definición de los números racionales, como para demostrar que?

Me enfrenté a este problema, mientras que tratando de verificar que el Dedekind corte $(A,B)$ no puede ser determinada por un número racional, donde:

• $B=\{x \in Q^+: x^2>2\}$

• $A=Q\setminus B$

donde $Q^+$ indica el positivo racionales.

Así que, para los efectos del problema, todavía no sé ni lo que los números reales son.

Answer 1

$1<(\frac54 )^2<2<(\frac32 )^2<3$, Suponemos wlog. que $n\ge 3$.

$q=\frac ab$, Nuestra tarea es encontrar a $a,b$ tal que $nb^2<a^2<(n+1)b^2$. Elegir $b=2n^2$; por lo tanto queremos $4n^5<a^2<4n^5+4n^4$. El conjunto de $\{\,k\in\Bbb N\mid k^2>4n^5\,\}$ es un no-vacío (contiene $3n^3$) subconjunto de $\Bbb N$, por lo tanto tiene un elemento mínimo $a$. Claramente, $a>2n^2>1$. Entonces %#% $ #% si asumimos $$(a-1)^2=a^2-2a+1>a^2\left(1-\frac 2a\right)>a^2\left(1-\frac 1{n^2}\right) $, esto conduce a $a^2\ge 4n^5+4n^4$ $ contradiciendo minimality de $$ (a-1)^2>4n^5+4n^4-4n^3-4n^2=4n^5+4n^2((n-1)^2-2)>4n^5$. Por lo tanto, $a$, como se desee.

Answer 2

Una idea: es bastante fácil encontrar un $q_0 \in \mathbb{Q}$ $q_0^2 > n$ que. Ahora utilice el método de Newton para aproximar una solución a $q^2 - n = 0$. Esto da un % de repetición $$ q_{i+1} = q_i - \frac{q_i^2 - n}{2q_i}. $$ puede ser demostrado que $$ q_{i+1}^2 - n = \left(\frac{q_i^2 - n}{2q_i}\right)^2 \le \frac{q_i^2 - n}{4} $ $ así que finalmente $q_i^2 - n < 1$.

Answer 3

Observe que $n > 4$

$$ n\sqrt{n + 1} - n \sqrt{n} = \frac{n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\geq \frac{n}{2\sqrt{n + 1}} > 1$$

por lo que es un número entero $k$ tal que

$$n\sqrt{n} \leq k <n \sqrt{n + 1}$ $ para

$$n \leq \frac{k^2}{n^2} <n + 1$ $ por lo tanto $q := \frac{k}{n}$ es un número racional con la propiedad que busca.

Answer 4

El problema se reduce a demostrar que existe un número racional entre $\sqrt{n}$y $\sqrt{n+1}$.

Que $q=a/b$ donde $a,b\in\mathbb{N}$ (como $\sqrt n >0)$.

Propiedad de Archimedian (modificado): dado cualquier número real $y>0$ allí existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $1/n<y$.

Así existe un entero $b$ $\frac 1b <\sqrt{n+1}-\sqrt n$. Podemos escoger otro entero $a$ tal que $a-1\le b\sqrt n<a$. Ahora $\sqrt n<\sqrt{n+1}-1/b\Rightarrow b\sqrt n<b\sqrt{n+1}-1\Rightarrow b\sqrt{n+1}>b\sqrt{n}+1\ge a$. Así $\sqrt{n+1} >a/b$.

Ahora desde la opción de $a$ concluimos que $a/b>\sqrt{n}$.

Por favor notifique acerca de los errores cometidos.