Problema de ecuación con potencias

Question

¿Cómo puedo resolver esta ecuación?

$2^{3x} +1 = 3^{2x}$

Answer 1

Pista : La ecuación es equivalente a $8^x+1=9^x$ y puedes adivinar fácilmente la solución de esta ecuación.

Answer 2

El caso de los números naturales es interesante (no estoy seguro de si el OP pretendía $x\in \mathbb N$ o cualquier otra cosa).

Reescribe tu ecuación como $$2^{3x}=3^{2x}-1=(3^x-1)(3^x+1)$$

De ello se desprende que ambos $3^x-1$ y $3^x+1$ son potencias de $2$ , lo que sólo ocurre cuando $x=1$ .

Nota: esto demuestra algo mucho más fuerte, al menos para valores enteros de $x$ . De hecho, no nos referimos al exponente de $2$ de manera profunda. Así, la ecuación $2^a=3^{2b}-1$ no tiene soluciones en $\mathbb N$ que no sea $a=3, b=1$ .

Answer 3

Un enfoque alternativo. Demostrar que $2^{3x}+1\leq 3^{2x}$ para $x\geq 1$ (igualdad para $x=1$ ). Entonces muestra $2^{3x}+1 > 3^{2x}$ para $x < 1$ . Este método también muestra que sólo hay una solución para $x \in \mathbb{R}$ .

La forma más fácil de hacerlo es definiendo $f(x)=3^{2x}-2^{2x}-1$ para que $f'(x)>0$ (estrictamente creciente) y $f(\infty)=\infty$ y $f(-\infty)=-1$ .

Answer 4

$$2^{3x}+1 = 3^{2x} \iff 8^x+1=9^x \iff \left(\frac{8}{9}\right)^x + \left(\frac{1}{9}\right)^x = 1.$$ Dado que la función $f(x) = \left(\frac{8}{9}\right)^x + \left(\frac{1}{9}\right)^x$ es monótonamente decreciente, hay como mucho una solución a la ecuación anterior. El ejercicio se deja al lector para encontrar al menos (y por lo tanto exactamente) una solución.

Answer 5

No es una respuesta real, pero de todos modos...