¿Cuál es el mayor subgrupo abelian en $S_n$?

Question

Estoy casi para terminar mi primer curso de teoría de grupos. He leído Dummit y Foote en el capítulo 5. Sé que siempre puedo encontrar un abelian subgrupo isomorfo a $C_{k_1} \times C_{k_2} \times ... \times C_{k_t}$ $S_n$ donde $n = k_1 + k_2 + ... + k_t$. Específicamente, el grupo de permutación $G = <(1 \ 2\ ...\ k_1),(k_1+1 \ ...\ k_2),...,(n-k_t+1\ ...\ n)>$.

Hay muchas maneras de expresar un tipo de isomorfismo de un grupo abelian como un producto directo de factores cíclicos. Si quiero expresar el tipo de isomorfismo en sus escuelas primarias divisor (primaria) descomposición esto parece minimizar $n$. Estoy algo familiarizado con Landau de la función (Sloane del A000793) lo que le da la máxima lcm sobre todas las particiones de $n$. Creo que esta secuencia da la respuesta a mi pregunta, pero no hay comentarios en la base de datos con respecto a este. En cualquier caso, estoy seguro y me gustaría algo de ayuda en esta pregunta.

Answer 1

Dado que todos los factores que contribuyen, no es necesario el mcm de los pedidos. También tenga en cuenta que $|C_2\times C_2\times\cdots\times C_2|$ ($k$ factores, en $2k$ puntos) ha pedido a $2^k\ge 2k$, por lo que es beneficiosa para dividir el ciclo de longitud $>3$ en grupos de a $2$-ciclos. Yo de hecho (como Derek Holt observado - $2^3<3^2$ sobre 6 puntos) y que se divide en 3 ciclos da una mayor orden, pero van a las grandes longitudes de ciclo se producen peores resultados. Esto significa que el subgrupo más grande es el producto directo de las copias de $C_3$ $2$- ciclos tirado en el resto de los puntos (es decir, si $n\equiv 0\pmod{3}$ no es $2$-ciclo, si es $\equiv 2$ hay $1$ dos ciclos, y si es $\equiv 1$ le quite un 3-ciclo y escribir dos $2$-ciclos (o $V_4$ o un 4-ciclo, como $4=2^2$) en los 3 puntos más que el resto de punto).