Si $A$ y $B$ son dominios integrales, cómo hacer $A\times B$ ¿un dominio integral?

Question

Últimamente he estado leyendo un poco de teoría de anillos y al llegar a la sección de "Dominios integrales" me ha surgido de repente una pregunta que me parece bastante natural. Está claro que si $A$ y $B$ son dominios integrales, entonces $A\times B$ no es necesariamente un dominio integral (si el producto sobre $A\times B$ se define por $(a,b)(a',b')=(aa',bb')$ ). De hecho, si $A$ y $B$ son anillos con unidad, $A\times B$ NO es un dominio integral ya que $(1,0')(0,1')=(0,0')$ . La pregunta es

¿Es posible definir un producto "canónico" en $A\times B$ para convertirlo en un dominio integral?

Con "canónico" me refiero a "definible a partir de las operaciones sobre $A$ y $B$ o de alguna relación fija entre ellos" (por ejemplo, cuando se define el producto semidirecto sobre grupos sólo depende de un determinado homomorfismo de un grupo $G$ al grupo de automorfismo de otro grupo $H$ ).

Agradecería cualquier idea. Gracias de antemano.

Answer 1

Esto no es posible en general. Dos hechos bien conocidos son que un dominio integral finito es un campo, y que un campo finito debe tener un número primo de elementos. Así, por ejemplo, no hay forma de dar $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ la estructura de un dominio integral.

Answer 2

Si $B=A$ y existe un polinomio $x^2+ax+b\in A[x]$ que no tiene ceros en el campo de las fracciones de $A$ entonces podemos definir una multiplicación en $A\times A$ imitando la multiplicación en el dominio integral $A[x]/\left(x^2+ax+b\right)$ . Es decir, podemos definir una multiplicación en $A\times A$ como $$(p,q)\cdot (r,s):=(pr-bqs,ps+qr-aqs)\,,$$ para todos $p,q,r,s\in A$ . Así es como conseguimos $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , $\mathbb{F}_4$ como $\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_2$ , $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt5}{2}\right]$ como $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ etc.