Estoy trabajando en todos los problemas de Cálculo de Spivak (3E) y me he topado con un obstáculo.
Dado $c, d \in R$ y distintos $x_1, ..., x_n \in R$ , demuestre que para cualquier $1 \leq i \leq n$ existe una función polinómica $f$ de grado $2n-1$ tal que $f(x_i) = c$ , $f'(x_i) = d$ y $f$ tiene una raíz doble en cada $x_j$ .
Esto es lo que tengo hasta ahora:
Para que tenga una raíz doble en esos puntos, dicha función debe tener la forma $f(x) = (x - x_1)^2...(x-x_{i-1})^2(x-x_{i+1})^2...(x-{x_n})^2H(x)$
Donde $H(x)$ es algún polinomio. Además, como las raíces dobles ya le dan un orden de $2n-2$ , $H(x) = ax+b$ .
Así que tenemos $f(x) = (x - x_1)^2...(x-x_{i-1})^2(x-x_{i+1})^2...(x-{x_n})^2(ax+b)$
O $f(x) = g(x)(ax+b)$ para acortarlo.
Ahora tenemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas $a$ y $b$ :
$g(x_i)x_ia+g(x_i)b = c$
$(g'(x_i)x_i + g(x_i))a + g'(x_i)b = d$
El determinante de la matriz de coeficientes es simplemente $(g(x_i))^2$ que es distinto de cero ya que sus únicas raíces son las otras $x_j$ es decir, la matriz es invertible, por lo que tiene una solución única. Sólo hay un problema:
¿Y si $c = g(x_i)$ y $d = g'(x_i)$ ? Entonces la solución es $(a,b) = (0, 1)$ y nuestro polinomio $f$ tiene grado $2n-2$ en lugar de $2n-1$ . ¿Me estoy perdiendo algo o es un error de Spivak? Además, ¿hay una lista de errores en algún lugar en línea? Intenté buscar en Internet pero no encontré ninguna.
