Cuando un valor de un polinomio sobre $\mathbb Z$ es un cuadrado perfecto

Question

Para que los valores de $x\in\mathbb{Z}$ el polinomio $16x^3-24x+9$ es un cuadrado perfecto?

No sé si esta pregunta tiene una solución, pero Wolfram Alpha dice que la respuesta es $x=0$ (haga clic en), incluso si $x=1$ es también una solución. ¿Wolfram acaba de dar soluciones y no todos?

De todos modos, si Wolfram puede dar algunas soluciones, creo que no hay un método general para administrar este tipo de problema (al menos con un tercer grado del polinomio). Así que la pregunta principal de este mensaje es:

Para que los valores de $x\in\mathbb{Z}$ el polinomio $p(x)\in\mathbb{Z}[x]$ es un cuadrado perfecto?

Obviamente no hay una respuesta general a la pregunta, pero me gustaría saber qué técnicas pueden ser útiles para abordar el problema.

Por ejemplo, si $\deg p(x)=2$ a veces podemos resolver una ecuación de Pell, o si $2\mid\deg p(x)$ a veces, el "poner entre los dos cuadrados" el método de trabajo. Otros métodos?

Answer 1

Esta es una curva elíptica $16x^3-24x+9=y^2$ y usted está buscando para el entero de los puntos.

No sé cómo funciona en general, pero hay algoritmos.

Vea aquí.

• A - Pethö, H.-G. Zimmer, J. Gebel, E. Herrmann, Computación en todos los S-integral puntos sobre curvas elípticas, de Matemáticas. Proc. Camb. Muerte. Soc. 127 (1999), Nº 3, 383-402

• R. J. Stroeker, N. Tzanakis, la Informática, todo entero soluciones de un género 1 ecuación Matemática. Comput. 72 (2003), Nº 244, 1917-1933

Answer 2

Estás buscando puntos enteros sobre una curva elíptica. Existe una vasta literatura. Un punto de partida es Integral puntos sobre una curva elíptica