Gradiente de una función armónica

Question

Me preguntó el siguiente cálculo vectorial problema:

Deje $D$ ser la unidad de la bola y vamos a $S$ ser la unidad de la esfera en $\mathbb{R}^3$. Supongamos que $F:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ $C^1$ campo de vectores en algunas abrir barrio de $D$ que satisface:

$(i) \nabla\times F=0$

$(ii) \nabla\cdot F=0$

$(iii)$ En $S$, $F$ es ortogonal al vector radial.

Demostrar que $F=0$ sobre todo $D$.

Las condiciones de $(i)$ $(ii)$ implica que $F=\nabla g$ algunos $g:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ donde $g$ debe ser armónico así.

Sé que una solución (ver al final), sin embargo mi instinto inicial era intentar usar el max/min de la propiedad de la armónica de funciones, y no podía llegar a trabajar. Ya que la pendiente es siempre ortogonal a la esfera, debe haber un punto de la esfera donde es $0$. (Peluda bola) Si que era un local de max o min en $\mathbb{R}^3$ nos llevaría a cabo, tomando una pequeña comunidad alrededor de él. Si es un punto de silla, esto no funciona. (Sabemos que debe ser un local de max/min en $S$ ya que es armónico)

Mi pregunta es: hay alguna forma de modificar este enfoque, y resolver el problema?

Gracias!

Otra Solución: Aquí es una solución que utiliza en primer lugar el hecho de que el radial del vector es ortogonal y, a continuación, se aplica de Gauss teorema de la Divergencia a la función $gF$. ($\nabla g=F$) Que es $$0=\iint_S (gF\cdot n)dS=\iiint_D \nabla\cdot (gF)dV=\iiint_D \|F\|^2dV,$$ y desde el integrando en el lado derecho es no negativo, continuo y se integra para dar a cero, debe ser cero.

Answer 1

La segunda prueba es una buena y totalmente apropiado dentro de cálculo vectorial. El primer intento tiene un hueco (creo).

Una tercera prueba se basa en Hopf del Lema (comúnmente enseñado en el nivel de posgrado clases de ecuaciones diferenciales parciales) lo que implica que si una función $u$ satisfacción $\Delta u \le 0$ $D$ alcanza un mínimo estricto en $z \in \partial D = S$, luego el exterior normal de la derivada en ese punto satisface $\nu \cdot \nabla u(z) < 0$. La aplicación de este con $g = u$, se deduce que el $g$ debe alcanzar su mínimo en el interior de $D$ y por lo tanto debe ser constante.

Answer 2

Eric, simplemente estoy replanteando su segunda prueba a darle una forma más de la PDE estilo de aproximación a este problema, vamos a $\vec{F} = \nabla u$, el problema que dio fue equivalente a resolver el siguiente problema de valor de frontera: Encontrar $u\in C^2(D)$ tal que $$ \left\{\begin{eqnarray} -\Delta u &=& 0 \text{ in } D \\ \nabla u \cdot n &=& 0 \text{ on } \partial D \end{eqnarray} \right.$$ Ahora multiplique ambos lados de la ecuación por una función de prueba en un poco de espacio(tan grande como sea posible), haciendo de la integración por partes para utilizar el límite condtion, y obtendrá la formulación variacional de este problema: Encontrar $u\in V = W^{1,2}(D)$ tal que $$ \int_D \nabla u\cdot \nabla v = 0 \quad \forall v\V $$ Note que no hay Dirichlet tipo de condición de frontera forzada de la función de prueba $v$, lo que hace que este problema de rendimiento no son únicas soluciones; con el fin De hacer de este problema bien planteado, en lugar de en el espacio de $V$, considere la posibilidad de un nuevo espacio de $V_0 = \{v\in V | \int_D v dx = 0\} = V/R$ este variacional del problema es equivalente a la siguiente funcionales problema de minimización: Si $u$ resuelve el original de la pde, a continuación, $u$ minimiza $$ J(u) = \min_{v\en V_0}\int_D |\nabla v|^2\,dx $$ Ahora suponga $u$ es la solución, entonces $$ J(u) = \int_D |\nabla u|^2\,dx \leq \sup_{v\en V_0} \int_D \nabla u\cdot \nabla v = 0 $$ con lo que se demuestra por la solución $u\in V_0$: $\nabla u = 0$(otras soluciones son diferentes con algunos específicos de $u$ a partir de una constante por parte de la definición del coeficiente de espacio, por lo tanto el gradiente de no cambiar)