¿Cómo encontrar el límite de una suma de reciprocals $\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots+ \frac{1}{n})$?

Question

Hay un límite que no puedo resolver. Creo que debe ser igual al $\infty$. $$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots+ \frac{1}{n}\right)$$

Answer 1

Escribir $$s_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots+ \frac{1}{n}$$ y observar que $$s_{2n} - s_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots+ \frac{1}{2n} \geq \underbrace{\frac{1}{2n} + \cdots + \frac{1}{2n}}_{n\text{ terms}} = n \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$$ de modo que la secuencia de $(s_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ no puede ser una secuencia de Cauchy, por lo tanto no puede converger. Dicho de otra manera, $s_{2^{n}} \geq \frac{n}{2}$.

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Editar:

Lo que yo quería hacer no parece lo que Pablo quería oír, pero déjame terminar ese argumento, sin embargo. Debe quedar claro que $s_{n+1} = s_{n} + \frac{1}{n+1}$, de modo que $s_{n+1} \gt s_{n}$ o en palabras, la secuencia de $s_{n}$ es (estrictamente) monótonamente creciente. He argumentado que $s_{2^{n}} \geq \frac{n}{2}$ (véase también Alejandro de la respuesta). Por lo tanto, tenemos $s_{k} \geq \frac{n}{2}$ por cada $k \geq 2^{n}$ y $\frac{n}{2}$ tiende a infinito con $n$ debe $s_{k}$$k \to \infty$.

Para encontrar un divergentes integral inferior obligado, tenga en cuenta que la desigualdad de $s_{n} \geq \int_{1}^{n} \frac{1}{x}\,dx = \log{n}$ sigue considerando la parte superior de suma de Riemann asociada a la partición de $(1,2,\ldots,n)$$[1,n]$. De nuevo, esto demuestra que $s_{n} \to \infty$ porque $\log{n} \to \infty$ $n \to \infty$ Jonas explicó en un comentario a tu pregunta.

Espero que le ayude.

Answer 2

Que $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$, entonces el $S_{2^{n+1}} - S_{2^n+1} \geq 2^n\frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}$.

Answer 3

Si fuera convergente a $\sum \dfrac{1}{n}$ $S$, entonces es absolutamente convergente.

Como resultado tenemos

$S_1 = \sum \dfrac{1}{2n-1} = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \dots $

y

$S_2 = \sum \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots$

ambos son absolutamente convergentes y

Tenemos

$S_1 + S_2 = S$

y

$S_2 = S/2$ y así

$S_1 = S_2$

que no es posible como $S_1 \gt S_2$.