Encontrar las trillizas todo ordenadas de números reales positivos $(a,b,c)$ tal que: %#% $ $$\lfloor a\rfloor bc=3,\quad a\lfloor b\rfloor c=4,\quad ab\lfloor c\rfloor=5,$ #% Dónde está el mayor entero menor o igual a $\lfloor x\rfloor$.
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Michael Greinecker
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Ahora tenemos dividiendo las ecuaciones y poner juntos los coeficientes obtenemos la relación $$\frac a{\lfloor a\rfloor}:\frac b{\lfloor b\rfloor}:\frac c{\lfloor c\rfloor}=20:15:12$$
Esto demuestra que $\frac a{\lfloor a\rfloor}\ge\frac53$ desde $\frac c{\lfloor c\rfloor}\ge1$. Es seleccionable que $\frac a{\lfloor a\rfloor}\ge\frac53$ fuerzas de $\lfloor a\rfloor=1$, ya que el $a,b,c\ge1$
Del mismo modo, obtenemos $\frac b{\lfloor b\rfloor}\ge\frac54$ Esto obliga a $\lfloor b\rfloor\le3$
Ahora,$$a=\frac a{\lfloor a\rfloor}\ge\frac53$$
ya tenemos $ab\ge\frac{25}{16}$. Pero $ab\lfloor c\rfloor=5$, de modo que $\lfloor c\rfloor\le\frac{80}{25}$ donde $\lfloor c\rfloor\le 3$, Pero si uno de $b,c$ $3$ o más, a continuación, que obliga a los otros dos a $1$ o menos, lo que se contradice con cualquiera de las proporciones, o por el hecho de que todos los de a,b,c son al menos 1. Por eso, $\lfloor b\rfloor=\lfloor c\rfloor\le2$ $\lfloor a\rfloor=1$
Los ratios de convertirse en $$a:\frac b{\lfloor b\rfloor}:\frac c{\lfloor c\rfloor}=20:15:12$$
Caso 1: $\lfloor b\rfloor=1$ A continuación,$a:b=4:3$, lo $b=\frac{3a}4$. La tercera ecuación de datos, a continuación, da$$\frac{3a^2}4\lfloor c\rfloor=5$$ So that $3a^2\lfloor c\rfloor=20$. But $<2$ implies $\lfloor c\rfloor=2$ Now we get $=\sqrt\frac{10}3$ $b=\frac{\sqrt{30}}4$ Since $\lfloor un\rfloor=1$, we have by the first equation in data that $\frac{\sqrt{30}c}4=3$ That is, $c=\frac25{\sqrt{30}}$
Caso 2: $\lfloor b\rfloor=2$ A continuación,$a:b=2:3$, lo $b=\frac{3a}2$. La tercera ecuación de datos, a continuación, da$$\frac{3a^2}2\lfloor c\rfloor=5$$ So that $3a^2\lfloor c\rfloor=10$.
Supongamos $\lfloor c\rfloor=1$, obtenemos $3a^2=10$ nuevo y como arriba, con coeficientes obtenemos el mismo $a$$b$, lo que se contradice con que $\lfloor b\rfloor\ne1$ aquí! Esta contradicción da $\lfloor c\rfloor=2$ y obtenemos $6a^2=10$ $a=\sqrt\frac53$ Pero como vimos anteriormente,$a\ge\frac53$. Para el caso 2 es contradictoria y sólo tenemos 1 solución!
$$(a,b,c)=\left(\sqrt\frac{10}3,\frac{\sqrt{30}}4,\frac25{\sqrt{30}}\right)$$
Sugerencia: Tenga en cuenta que$a$,$b$, y$c$ son$\ge 1$. Por la primera condición, todos nuestros números están en el intervalo de$[1,2)$, o dos de ellos se encuentran en$[1,2)$ y el otro es en$[2,3)$. Así que sólo hay$4$ de los casos a considerar, y cada uno nos da un sistema explícito de ecuaciones ordinarias (no hay pisos). Y no es en realidad ni siquiera$4$.
