He sabido que la siguiente proposición es verdadera para $n=20$.
Proposición : Para cualquier $n$ distintos números de dos dígitos, existe un conjunto de cuatro distintos números de $a,b,c,d$ tal que $a+b=c+d$.
Entonces, empecé a tratar de encontrar el mínimo de $n$ de manera tal que la proposición es verdadera. Entonces, tengo que la proposición es verdadera para $\color{red}{n=19}$.
La prueba de que la proposición es verdadera para $n=19$ :
Deje que el determinado $19$ números de ser $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_{19}$. También, vamos a $\{a_2-a_1,a_3-a_2,\cdots, a_{19}-a_{18}\}=\{b_1,b_2,\cdots, b_{18}\}$ donde $b_1\le b_2\le\cdots\le b_{18}$.
Supongamos que no existe ningún conjunto de cuatro distintos números de $a,b,c,d$ tal que $a-c=d-b$.
Si $b_n=b_{n+1}$, entonces no existe $p,q\ (p\lt q)$ tal que $a_{p+1}-a_p=a_{q+1}-a_q$, pero a partir de la suposición, $q=p+1$ tiene que llevar a cabo. Se sigue de esto que no hay tres de los mismos números en $b_n$ y que $\sum_{k=1}^{18}b_k\ge 1+1+2+2+\cdots +9+9=90$, lo que contradice que tenemos $\sum_{k=1}^{18}b_k=a_{19}-a_1\le 99-10=89$. QED
Esto es todo lo que he sido capaz de llegar tan lejos. Entonces, mi pregunta es la siguiente :
Pregunta : ¿Cómo podemos encontrar el mínimo de $n$ de manera tal que la proposición es verdadera?
Añadido : Byron Schmuland demuestra que la proposición es verdadera para $n=14$ bajo la condición de que $a,b,c,d$ no son necesariamente distintos. También, comenta que podemos demostrar que la proposición es verdadera para $n=15$ bajo la condición de que $a,b,c,d$ son distintos de acuerdo a la solución de una pregunta relacionada.
Lo que quiero decir en esta pregunta es que la $a,b,c,d$ son distintos. (lo siento, esto podría no ser obvio. Así, añado la palabra "distinto")
Ahora sabemos que el mínimo de $n$ tiene que ser menor o igual a $15$.
Aquí, voy a escribir la prueba de $n=15$ consiguiendo la idea clave de la solución anterior.
La prueba de que la proposición es verdadera para $n=15$ donde $a,b,c,d$ distintas :
Supongamos que no existe ningún conjunto de cuatro números de $a,b,c,d$ tal que $a-c=d-b$. Hay $\binom{15}{2}=105$ formas de elegir los $2$ números de las $15$ números. A partir de la suposición, cada diferencia de su $2$ los números son distintos, salvo el caso cuando $$i-j=j-k\tag1$$ where $i\gt j\gt k$. Here, for every $j$, there exists at most one $(i,k)$ satisfying $(1)$. This is because if there were distinct $(i,k),(i',k')$ such that $i-j=j-k,i'-j=j-k'$, then the four numbers $i,k,i',k'$ would be distinct and would satisfy $i-i'=k'-k$, which contradicts the supposition. Since $j$ can neither the maximum number nor the minimum number, the number of the patterns where $(1)$ happens is at most $15-2=13$.
Por lo tanto, si se elimina en la mayoría de las $13$ juegos de $2$ números, entonces cada diferencia de la $2$ números del resto de las $105-13=92$ es distinta. Sin embargo, la diferencia de $2$ números es $1,2,\cdots, 88,89(=99-10)$, lo cual es una contradicción. QED
Añadido : Byron Schmuland y Ross Millikan independientemente mostrar once números de 2 dígitos, de modo que cada par tiene una suma diferente. Así, ahora sabemos que el mínimo de $n_{\text{min}}$ $n$ tiene que satisfacer $\color{red}{12\le n_{\text{min}}\le 15}$.
