Resolver la ecuación en números enteros$$\sqrt{x^3-3xy^2+2y^3}=\sqrt[3]{13x+8}$ $
Mi trabajo hasta el momento:
Solía www.wolframalpha.com . Entonces$x=9,y=8 -$ de solución.
Mi intento:
1) Sea$\sqrt{x^3-3xy^2+2y^3}=a, \sqrt[3]{13x+8}=b$. Entonces $$ \begin{cases} a=b\\ a^2-b^3=x^3-3xy^2+2y^3-13x-8 \in \mathbb Z \end {} $$ casos
2)$$(x^3-3xy^2+2y^3)^3=(13x+8)^2$ $
Adición:
Tenemos$$A^6\cdot B^6=(13x+8)^2$ $ y$$n^6 \equiv 0, \pm 1 (\bmod 13)$ $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No hay ningún número entero soluciones con $x<0$, ya que el $13x+8<0$ tales $x$. Al $0\leq x\leq 8$ $13x+8$ no es un número entero cúbicos. Puesto que el último es fácilmente visible a ser una condición necesaria de ello se sigue que no hay soluciones con $x$ en este rango. Por otro lado ya han encontrado la solución a $(9,8)$. En el siguiente voy a demostrar que no hay soluciones con $x\geq10$.
Estoy pensando en $x\geq10$ "variable primaria" y escriba $y:=x-t$ con una nueva variable de tipo entero $t$. La ecuación en juego, a continuación, lee $$a:=\sqrt{t^2(3x-2t)}=\root 3\of{13x+8}=:b\ .$$ Si $t\leq-1$ $$a=|t|\sqrt{3x+2|t|}\geq\sqrt{3x}\ .$$ Para $x=10$ por lo tanto, tenemos $a^3\geq\bigl(\sqrt{3x}\bigr)^3=30^{3/2}>164>138=13x+8=b^3$, y las cosas se ponen peor para mayor $x$.
Si $t=1$$x=10$$a=\sqrt{3x-2}=\sqrt{28}$. Para $x=10$ por lo tanto, tenemos $a^3\geq28^{3/2}>148>138=b^3$, y las cosas se ponen peor para mayor $x$.
Si $2\leq t\leq x$ $$a\geq2\sqrt{3x-2t}\geq2\sqrt{x}\ .$$ Para $x=10$ por lo tanto, tenemos $a^3\geq8\cdot10^{3/2}>252>138=b^3$, y las cosas se ponen peor para mayor $x$.
Por último, si $2x\leq 2t\leq 3x-1$ $$a=\sqrt{t^2(3x-2t)}=t\sqrt{3x-2t}\geq x\ .$$ Para $x=10$ por lo tanto, tenemos $a^3\geq10^3>138$, y las cosas se ponen peor para mayor $x$.
