Me gustaría mostrar algunas propiedades de la integral de Lebesgue.
Me gustaría mostrar que si $f$ es una función simple que es cero en casi todas partes, entonces la integral de Lebesgue $\int f(x) dx = 0$.
Del mismo modo, me gustaría mostrar esto también es cierto para una función medible $f$ que es cero en casi todas partes.
Estoy trabajando a través de un real análisis de libros de texto en el mío propio, y no estoy muy seguro de qué hacer acerca de esto "casi en todas partes." Qué debo tener en cuenta por separado un conjunto de medida cero? Gracias como siempre.
Intento de función simple:
Si $f$ es una función simple que es cero en casi todas partes, a continuación,$f = \sum_{i=1}^{n}a_{i}\chi_{E_i} = 0$.
A continuación, para cada una de las $i$, $a_i = 0$ o de lo $m(E_i)= 0$.
Por definición, $\int f(x) = \sum_{i=1}^{n}a_{1}m(E_i)$.
Esta suma es la suma de los ceros. Por lo tanto, $\int f(x) = 0$ como se desee.
Intento para medir la función:
Suponga $f$ es un valor no negativo medibles función que es cero en casi todas partes.
Por definición, $\int f(x) dx = \lim_{n \to \infty}\int f_n(x) dx$ donde $\{f_n\}$ es una secuencia de aumento de la no-negativo, las funciones simples que están todos a menos de $f$.
Desde $f$ es cero en casi todas partes, cada uno de no-negativo, simple $f_n$ también debe ser cero en casi todas partes.
Ahora, desde arriba, sabemos que para cada $n \in \mathbb{N}$, $\int f_n(x) dx = 0$.
A continuación, $\int f(x) dx = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$.
Por lo tanto, $\int f(x) dx = 0$.
Ahora, para el caso general...
Podemos escribir cualquier función medible $f$ en términos de sus efectos positivos y negativos de las piezas. Por eso, $f(x) = f^+(x) - f^-(x)$.
Tanto en $f^+(x)$ $f^-(x)$ son no-negativos. Ahora si $f$ es cero casi en todas partes, tanto en $f^+(x)$ $f^-(x)$ son no negativos y el cero en casi todas partes.
Luego, por encima, $\int f^+(x) dx= \int f^-(x) dx= 0$
Y, por definición, $\int f(x) dx = \int f^+(x) dx - \int f^-(x) dx$.
Por eso, $\int f(x) dx = 0 - 0 = 0$ como se desee.
