¿Cuántas$1$ s están en los primeros$1023$ números binarios?

Question

¿Cuántas$1$ s están en los primeros$1023$ números binarios?

No estoy seguro de que la forma de abordar esta cuestión. Una idea, una fórmula o solución es apreciado!

Answer 1

Suponiendo que la "primera" número binario se$1$ nota que los primeros$1023$ números binarios, además$0$, son todos los números binarios se puede escribir con exactamente% $10$dígitos binarios o prepending bits ($0$ s de los números "cortas", como en$0000101010_2$). Entre todos ellos, a continuación, tiene$1024 \cdot 10=10240$ bits, y por razones de simetría exactamente la mitad de las personas,$5120$, está$1$ s.

Answer 2

Consejo: Para cuántos de esos números de bits del uno ser un$1$ (en otras palabras: ¿cuántos de esos números son impares)? Para cuántos de ellos será poco de los dos será un$1$? Para cuántos de ellos será poco de los cuatro será un$1$? Y así. Además, es probable que sea ventajoso incluir$0$ (y por lo tanto mirar a una colección de$1024$ números binarios) para hacer que el contar un poco más fácil. O bien, si ya está incluido$0$, incluir$1023$ inicialmente, luego correcta para que cuando haya terminado de contar.

Answer 3

Cualquier número puede ser representado por una cadena de 10 0s y 1s. El número de estas cuerdas con$n$ queridos es$10$ elige$n$. Por lo tanto, el número de los que aparecen es $$ \ sum_ {n = 0} ^ {10} {10 n \ n eligen} = 5 \ cdot 2 ^ {10}. $$

Answer 4

Como una adición a la respuesta de Arthur - si se cuenta con, por ejemplo,$2^{4} - 1 = 15$, usted puede fácilmente averiguar un patrón en las columnas:

 0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
 

Así que si cuentas a$2^{n} - 1$, tiene$2^{n} * n$ dígitos ( "filas * columnas"), de los cuales el 50% son de 1.

Para su ejemplo: Conteo de$1023 =2^{10} - 1$, le consigue$2^{10} * 10 * \frac{1}{2} = 5120$ binarios de 1 en total.

Answer 5

Es fácil de calcular. Hay un patrón con cualquier número que se utiliza como prisionero de guerra de estopa:

Tiene 2^x, donde x> 0, y tiene un número binario como:

2^0 = 1 (Dec) = 1 (Binario)

2^1 = 2 (Dec) = 10 (Binario)

2^2 = 4 (Dec) = 100 (Binario)

...

2^10 = 1024 (Dec) = 100 0000 0000(Binario)

Si prestas atención te darás cuenta de ello:

2^10 - 1 = 1023 (Dec) = 011 1111 1111(Binario)

...

2^2 - 1 = 3 (Dec) = 011 (Binario)

2^1 = 1(Dec) = 01 (Binario)

2^0 - 1 = 0 (Dec) = 0 (Binario)

En este caso, la pregunta, el Número de partidos con el número que se utiliza para el pow.