Potenciación de una serie de Dirichlet

Question

Estoy tratando de entender una prueba en Chandrasekharan la Introducción a la Teoría Analítica de números. Específicamente, la prueba del lema en la p.118 antes del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas.

Definir

$$ Q(s) = \log P(s) $$

para algunos en particular rama del logaritmo de $\sigma > 1$. Si

$$ Q(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}, $$

que converge absolutamente para $\sigma > 1$ y los coeficientes de $a_n$ son no negativos, ¿cómo puedo concluir que

$$ P(s) = e^{Q(s)} = 1 + Q(s) + \frac{P^2(s)}{2!} + \cdots $$

puede ser escrito como una de Dirichlet serie es convergente para $\sigma > 1$ y cuyos coeficientes son no negativos?

Yo sé que un producto de Dirichlet de la serie con el positivo de los coeficientes es de nuevo una serie de Dirichlet no negativo de los coeficientes que converge en la intersección de las dos de la mitad de los aviones de convergencia, y por lo tanto cada uno de los términos aquí es una de Dirichlet de la serie, pero no veo por qué una infinita suma de Dirichlet de la serie que, necesariamente, es en sí misma una de Dirichlet de la serie.

También, ¿cómo puedo demostrar que, si la serie de Dirichlet $Q(s)$ converge, lo hace la serie de Dirichlet $P(s)$, y viceversa?

Answer 1

El resultado, evidentemente, obedece sólo a partir de convergencia absoluta de $Q(s)$. Como he mencionado en la pregunta, en cualquier producto de dos absolutamente convergente de Dirichlet de la serie es absolutamente convergente de Dirichlet de la serie, así que vamos a

$$ \frac{Q^k(s)}{k!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{k,n}}{n^s}. $$

Entonces

$$ e^{Q(s)} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{Q^k(s)}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{k,n}}{n^s}. $$

Si asumimos $Q(s)$ converge absolutamente, entonces el interior de la suma converge asbolutely (después de que el exterior de la suma claramente no demasiado), así que podemos intercambiar el orden de la suma para obtener

$$ e^{Q(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{k,n}}{n^s} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n^s}, $$

donde

$$ b_n = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k,n}. $$

Por el contrario, si $\sum_n \frac{b_n}{n^s}$ converge absolutamente, entonces, puesto que el $a_{k,n}$ son todos no negativos, el doble de la suma de la $\sum_n \sum_k \frac{a_{k,n}}{n^s}$ converge absolutamente, y por tanto, cambios en el orden de la suma nos permite concluir que cada una de las $\sum_n \frac{a_{k,n}}{n^s}$ converge absolutamente. En particular, $Q(s)$ converge absolutamente, como se desee.