Evaluar

Question

Evaluar

ps

$$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{(1+x)^{1/x}}{e}\right)^{1/x}$$$$ 1 ^ \ infty $ form. Así, el límite es igual a$I recognized it as the $ donde$e^t$ $

Aunque utilizando L'Hopital, no puedo entender cómo evaluar este límite. Podría alguien por favor me ayude? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Si $L$ es el límite deseado, a continuación, hemos \begin{align} \log L &= \log\left\{\lim_{x \to 0}\left(\frac{(1 + x)^{1/x}}{e}\right)^{1/x}\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\log\left(\frac{(1 + x)^{1/x}}{e}\right)^{1/x}\text{ (via continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\log\left(\frac{(1 + x)^{1/x}}{e}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\left(\log(1 + x)^{1/x} - 1\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log (1 + x) - x}{x^{2}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{x - \dfrac{x^{2}}{2} + o(x^{2}) - x}{x^{2}}\notag\\ &= -\frac{1}{2}\notag \end{align} Por lo tanto $L = 1/\sqrt{e}$.

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Nota: es mejor utilizar técnicas generales (como la toma de registros al tanto de base y exponente son variables) que el uso de límite de fórmulas para el tipo específico de problemas. En su pregunta a la que usted está tratando de utilizar la fórmula que si $f(x) \to 1$$g(x) \to \infty$, entonces el límite de $\{f(x)\}^{g(x)}$ es igual a la de $\exp\left\{\{f(x) - 1\}g(x)\right\}$. Esta fórmula sí viene a través de la utilización de la técnica de los logaritmos y como hemos visto en la solución anterior, el uso de registros directamente es más útil aquí.

Answer 2

Deje$$y=\left(\dfrac{(1+x)^{1/x}}{e}\right)^{1/x}$ $$$\implies \log y=\frac {\log(1+x)-x}{x^2}$ $ Ahora bien, o el uso de L 'Hopital dos veces, o utilizar para la expansión de Taylor$\log(1+x)$