¿Por qué regularización Zeta no es válida para múltiples bucles-?

Question

¿Por qué regularización zeta sólo es válida en un bucle?

Quiero decir que hay regularizaciones zeta zeta para múltiples sumas. También podríamos usar la regularización zeta iterativamente en cada variable para obtener correcciones finitos a múltiples diagramas de lazo.

Answer 1

El uso estándar de zeta-regularización en la teoría cuántica de campos es reemplazar el mal definidos en un bucle funcional determinante con algo finito:

$$\begin{align} \det(H) &= \exp(\mathrm{tr}\log H) := \exp(-\zeta'_H(0))\,, \\ \zeta_H(s) &= \mathrm{tr} H^{-s} = \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty\mathrm{d}t\, t^{s-1}\mathrm{tr}(\exp(-H t)) \end{align}$$

Esta es una generalización de la Riemann zeta función de $\zeta(s)=\zeta(s,q)$ y Hurwitz zeta-función de $\zeta(s,q)=\sum_{n=1}^\infty (q+n)^{-s}$ desde $$\zeta_H(s) = \mathrm{tr} H^{-s} = \sum_{n} \lambda_n^{-s}\,.$$ For example, for the harmonic oscillator, $\lambda_n=n+\frac12$ so $\zeta_H(s)=\zeta(s,\frac12)$.

Obviamente, esto sólo funciona en un bucle debido a las correcciones cuánticas sólo se ven como una funcional determinante en un bucle.

Pero relacionadas ideas se pueden extender a varios bucles. (¿Cómo hace la siguiente comparación con el esquema? Es difícil decir exactamente lo que usted está diciendo en su papel...)

En tu pregunta anterior he mencionado operador de regularización (por ejemplo, PhysRevD.35.3854) como una extensión de zeta-regularización. Aquí, el funcional determinante es escrito usando $$\begin{align} \det(H) &= \exp(\mathrm{tr}\log H) \\ \log H &:= \lim_{s\to0}\Big[-\frac{d^m}{d s^m}\Big[\frac{s^{m-1}}{m!}H^{-s}\Big]\Big]\,, \end{align}$$ para algunos lo suficientemente grande (en realidad sólo necesita $m=1$) integer $m$. Con $m=1$ y la escritura $H^{-s}=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty \mathrm{d}t\, t^{s-1}\exp(-H t)$ recuperar la zeta-regularización de la forma señalada anteriormente.

Del mismo modo, usted también puede regularizar los propagadores $H^{-1}$ $$ H^{-1} = \frac{d}{d, H}\log H := \lim_{s\to0}\Big[\frac{d^m}{s^m}\Big[\frac{s^{m}}{m.}H^{-s-1}\Big]\Big]\,. $$ Este es el trasfondo básico de operador de regularización.

En arXiv:1006.1806, este fue generalizada a $$ H^{-n} := \lim_{s\to0}\Big[\frac{d^m}{s^m}\Big[ \big(1+\alpha_1s+\dots+\alpha_ms^m\big)\frac{s^{m}}{m.}H^{-s-n}\Big]\Big]\,. $$ donde el $\alpha_i$ son inicialmente arbitraria finito de constantes y $m$ es el lazo de la orden (o superior). Las comparaciones se hicieron con algunas dimensiones regularización de las integrales de Feynman y se encontró que para una selección de $\alpha_i$ de coincidencia. Estas constantes se fija de acuerdo con la renormalization esquema que se utiliza. No estoy seguro de si un "mínimo de la resta" exista un régimen para el operador de regularización (a menos que usted haga una comparación con las dimensiones de regularización para cada diagrama!) o si un físico/en-shell renormalization esquema que ha de servir para garantizar la coherencia de los resultados.

Mucho más sólido que el papel es el Operador de regularización y multiloop funciones de Green. Hay que definir el operador de resta (con la $\alpha_i$ constantes) $$ \mathcal S^{(m)}\big(\prod_i A_i^{-1}\big) = \lim_{s\to0}\frac{d^m}{s^m}\Big[\frac{s^{m}}{m.}\Big(\prod_i A_i^{-s-1}\Big)\Big] $$ y muestran que su ingenuo de la aplicación para obtener finito de las amplitudes de los saltos de unitarity. (Los resultados de arXiv:1006.1806 sugieren que si se incluye el $\alpha_i$'s y elegir correctamente, usted debería ser capaz de obtener resultados correctos...) Luego de que en realidad el uso Bogolibov la recursividad fórmula para mostrar cómo construir una constante de $\mathcal R$-operador de $\mathcal S$.

Detalle de los cálculos se da para tanto el ingenuo y sofisticado uso del operador de regularización masiva $\phi^4_4$ teoría.

Tenga en cuenta que el uso de un BPHZ-como esquema esencialmente vuelve a la counterterms (ocultos en las sustracciones en cada diagrama) para el método y definitivamente se rompe la simplicidad de la original $\zeta$-regularización.