Plaza de las matrices de Pauli y la matriz de identidad

Question

El cuadrado de cualquiera de las tres matrices de Spin Pauli es igual a la identidad.

¿Hay algún significado físico a este? ¿Es de esperar que? Tal vez en el contexto de la$SU(2)$ grupo?

Answer 1

OP pregunta:

¿Hay algún significado físico a esto?

Sí, la Pauli matriz $\sigma_j$ representa (hasta un factor de proporcionalidad) el giro en la $j$th dirección de un spin $\frac{1}{2}$ sistema. Tal sistema tiene sólo dos estados de spin: $\uparrow$$\downarrow$, con frente autovalores. El cuadrado de $\sigma_j^2$ no puede ver la señal, por lo que sólo tiene un autovalor, cf. comentario por BMS. En otras palabras, el cuadrado de $\sigma_j^2$ es proporcional a la matriz de identidad.

Answer 2

Esto es debido a que hay sólo dos posibles valores para el giro en cualquier dirección, $-\frac{\hbar}{2}$$\frac{\hbar}{2}$, que sólo difieren en el signo, por lo que al cuadrado se obtiene un único valor de $\frac{\hbar^2}{4}$. Piensen acerca de esto, el único valor posible cuando se mide el cuadrado de $S_z$ $\frac{\hbar^2}{4}$ para cualquier estado, por lo que $$ <\psi|S_z^2|\psi>=\frac{\manejadores^2}{4} \quad \forall \, |\psi> $$ Por lo que debe ser un múltiplo de la identidad del operador $$ S_z^2=\frac{\manejadores^2}{4} I $$ Recuerde que $S_z$ es proporcional a las matrices de Pauli, $S_z =\frac{\hbar}{2} \sigma_z$.