Demostrando el teorema de Cauchy Plancherel utilizando la fórmula integral

Question

El teorema de Plancherel dice que

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int^\infty_{-\infty} F(k) e^{ikx} dk$

donde

$F(k) = \int^\infty_{-\infty} f(x)e^{-ikx}dx$.

Me pregunto si podemos probar este uso de Cauchy de la integral de la fórmula de alguna manera como este.

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int^\infty_{-\infty} \int^\infty_{-\infty} f(x')e^{-ikx'} dx' e^{ikx} dk$

$= \frac{1}{2\pi} \int^\infty_{-\infty} \int^\infty_{-\infty} e^{ik(x-x')} dk f(x') dx'$

$= \lim_{k_0\rightarrow\infty} \frac{1}{2\pi} \int^\infty_{-\infty} \frac{1}{i(x-x')} (e^{ik_0(x-x')}-e^{-ik_0(x-x')}) f(x') dx'$

$= \lim_{k_0\rightarrow\infty} -f(x)+f(x)$

$=0$

donde solía Cauchy de la integral de la fórmula en la siguiente a la última igualdad. Hice el contorno integral sobre una mitad superior del círculo y asumió f(x) tiende a 0 en x grande. Sin embargo tengo 0 en lugar de $f(x)$ en la última igualdad. Yo creo que hay algunos problemas en mi comprensión de la complejidad del análisis, así que por favor hágamelo saber!

Answer 1

Observe que $$ \begin{align} \frac{1}{2\pi} \int\limits^\infty_{-\infty} \int\limits^\infty_{-\infty} \textstyle f\left(x'\right)\,\exp\left({-\text{i}kx'}\right)\, \text{d}x'\, \exp({\text{i}kx})\, \text{d}k &=\lim_{k_0\rightarrow\infty}\, \frac{1}{2\pi}\, \int\limits^{+\infty}_{-\infty} \textstyle\frac{\exp\big({+\text{i}k_0\left(x-x'\right)}\big)-\exp\big({-\text{i}k_0\left(x-x'\right)}\big)}{\text{i}(x-x')} \,f\left(x'\right)\, \text{d}x' \\ &=\lim_{k_0\rightarrow\infty}\,\frac{1}{2\pi\text{i}}\,\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\textstyle \,\frac{\exp\big({\text{i}k_0\left(x'-x\right)}\big)}{x'-x} \,\big(f\left(x'\right)+f\left(2x-x'\right)\big) \,\text{d}x'\,. \end {align} $$ Por otra parte, el contorno va alrededor del polo en$x$ de media vuelta. Por lo tanto, tenemos que$$\lim_{k_0\rightarrow\infty}\,\frac{1}{2\pi\text{i}}\,\int\limits^{+\infty}_{-\infty} \,\frac{\exp\big({\text{i}k_0\left(x'-x\right)}\big)\big)}{x'-x}\, \big(f\left(x'\right)+f\left(2x-x'\right)\big)\, \text{d}x'=\frac{1}{2}\big(f(x)+f(x)\big)=f(x)\,.$ $