Calculando…

Question

Estoy estudiando para mi examen de análisis real y estoy teniendo dificultades con algunos de los materiales, sé que el siguiente debe ser resuelto mediante el conteo de medida y LDCT, pero no sé cómo.

Para $\alpha>0,$ Calcular $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\arctan(n^{2}k)}{n^{\alpha}+k^{3/2}}$$

Les agradecería mucho si en las respuestas que usted puede incluir todos los detalles acerca de los teoremas utilizados (ya que existe una gran importancia para la argumentos de por qué no podemos hacer lo que hay que hacer en cada paso, y no entiendo el material lo suficientemente bueno como para ser capaces de entender que algunos paso es en realidad no es trivial y utiliza algunos teorema)

Answer 1

Tenga en cuenta que para los términos de la serie$\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k}\arctan(n^{2}k)}{n^{\alpha}+k^{3/2}}$ tenemos \begin{align} \left|\frac{(-1)^{k}\arctan(n^{2}k)}{n^{\alpha}+k^{3/2}}\right| = & \left| \frac{\arctan(n^{2}k)}{n^{\alpha}+k^{3/2}}\right| \\ \leq & \left| \frac{2\pi}{n^{\alpha}+k^{3/2}}\right| \\ = & \left| \frac{\pi}{\frac{n^{\alpha}+k^{3/2}}{2}}\right| \\ \leq & \frac{\pi}{\sqrt[2\,]{n^{\alpha}\cdot k^{3/2}}} \\ = & \frac{\pi}{n^{\frac{\alpha}{2}}\cdot k^{3/4}} \\ = & \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}\frac{\pi}{k^{3/4}} \end {align} Entonces $$ 0 \ leq \ left | \ Sum_ {k = 1} ^ n \ frac {(- 1) ^ {k} \ arctan (n ^ {2} k)} {n ^ {\ alpha} k ^ {3/2}} \ right | \ leq \ sum_ {k = 1} ^ n \ left | \ frac {1} {n ^ {\ frac {\ alpha} {2}}} \ frac {\ pi} {k ^ {3/4}} \ right | $$ Por el teorema del apretón de Secuencias ,$\sum_{k=1}^n\left|\frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}\frac{\pi}{k^{3/4}}\right|\to 0$ (para todos los$\alpha>0$) implica$\left|\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k}\arctan(n^{2}k)}{n^{\alpha}+k^{3/2}}\right| \to 0$

Answer 2

Dejar $a(n,k):=(-1)^k\frac{\arctan(n^2k)}{n^{\alpha}+k^{3/2}}$; a continuación,$|a(n,k)|\leqslant \frac{\pi}{2k^{3/2}}$ por cada$n$, de ahí$$\left|\sum_{k=1}^{+\infty}a(n,k)\right|\leqslant \sum_{k=1}^N|a(n,k)|+\frac{\pi}2\sum_{k\geqslant N+1}k^{-3/2},$ $ que da que para cada entero$N$,$$\limsup_{n\to +\infty}\left|\sum_{k=1}^{+\infty}a(n,k)\right|\leqslant\sum_{k\geqslant N+1}k^{-3/2}.$ $ Concluir (que en realidad utilizamos el teorema de convergencia dominada).