¿Necesitamos lo completo para una secuencia -convergent * débil para ser acotada?

Question

Deje$(\phi_n)_n$ sea una sucesión convergente * débil en el dual de algunos normado espacio$X$ con (débil * -) Límite$\phi$.

Si$X$ es de Banach entonces se sigue desde el principio que la acotación uniforme$\sup_n \lVert \phi_n \rVert < \infty$ desde$\sup_n |\phi_n (x)| < \infty$ por cada$x \in X$.

Pero lo que si$X$ no es Banach? ¿Esto todavía conservan su validez?

Answer 1

En general, sin integridad, no se puede deducir que un$^\ast$ secuencia convergente débil está acotado.

Deje$X = c_{00}$ sea el espacio de secuencias con solamente un número finito de términos no nulos, dotado de la$\lVert\,\cdot\,\rVert_\infty$ - norma. Su conclusión es$c_0$, el espacio de secuencias convergentes a$0$, y su doble, por lo tanto isométricamente isomorfos a$\ell^1(\mathbb{N})$. La secuencia dada por$x_n = n\cdot e_n$ es convergente a$0$ en$\bigl(\ell^1(\mathbb{N}),\sigma(\ell^1(\mathbb{N}),c_{00})\bigr)$ - desde$\langle x_n, y\rangle = n\cdot y_n = 0$ para todos suficientemente grande$n$ - y sin límites.