Las pruebas del teorema fundamental de los polinomios simétricos

Question

He estado considerando la posibilidad de un par de pruebas de este teorema, y me di cuenta de que algunos de ellos (por ejemplo Prueba 1y Prueba 2) demostrar el teorema de la primera homogéneo y simétrico polinomios y luego generalizar. Sin embargo he visto otras pruebas que parecen no requieren este paso (por ejemplo, la Prueba 3) y a mí me parece superfluo.

Podría alguien explicar por qué tantas pruebas incluir este paso y/o si es necesario?

Answer 1

Como usted puede observar con respecto a la "Prueba 3", el lexicográfica del fin de la prueba (que se remonta a Gauss y puede ser el primer limpia, clara prueba de este teorema), no es necesario reducir para el caso homogéneo para demostrar el teorema. La lex orden algoritmo funciona perfectamente en cualquier polinomio simétrico, homogénea o no. Hay muchas otras pruebas que también evitar esta reducción. De hecho, como usted correctamente sentido, su otro vinculado pruebas ("Prueba 1" en PlanetMath, que en realidad es el mismo lex-fin de la prueba, y la "Prueba 2" en la Wikipedia, que me encontró por primera vez en el álgebra de los libros de texto de Serge Lang y Michael Artin) puede ser fácilmente escribirse sin esta suposición. El teorema también puede ser probado sin constructiva de la teoría de Galois (como se hace por ejemplo en el libro de texto por Hungerford), y en una prueba que sería una especie de ridículo a molestar con la hipótesis de homogeneidad.

Sin embargo, cuando uno quiere, en la práctica, para representar un polinomio simétrico en términos de la primaria, que uno hace, de hecho, siempre terminan trabajando por separado en cada componente homogénea, por la sencilla razón de que la primaria simétrica polinomios son en sí mismos homogénea. Así, mientras que la reducción para el caso homogéneo puede ser eliminada para hacer la exposición de la prueba más económico, que no puede ser eliminado del cálculo real de una representación de un polinomio simétrico en términos de la primaria).

Por lo tanto, a la forma constructiva-mente, no hay una verdadera pérdida de eficacia en una prueba que se reduce para el caso homogéneo en primer lugar. Si la prueba es constructiva (como lo son todas las pruebas que usted link), aparejo para evitar este paso podría ser visto como una especie de engaño, ya que al descomprimir los cálculos detrás de la prueba, usted debe trabajar por separado en cada homogénea de los componentes. Supongo que es por eso que las pruebas son escritas de esa manera.