Yo diría que un ejemplo por excelencia de este tipo de intuición se puede encontrar en la creación de Cálculo. Newton y Leibniz fueron en un nivel diferente de pensamiento, de tener un sentido para un determinado tipo de acercamiento a las matemáticas y la física de los fenómenos, y que fueron capaces de poner en práctica este enfoque, sin a veces abrumadora cadenas de rigor. No suministro de "moderno" pruebas de sus afirmaciones, pero sus ideas trabajadas. El dúo (aunque no de forma colaborativa) desarrolló un ideal de la teoría de infinitesimals, una forma de medir el cambio a medida que se acerca el "infinito más allá" y el momento instantáneo.
Para ser más concretos, tomar lo que algunos podrían plazo la piedra angular de cálculo, el límite. Para Newton, esta idea surgieron a partir de la intuición; se había sentido como un a priori (no en el más estricto sentido filosófico) idea. Uno se siente que uno sabe lo que es un límite, y es suficiente trabajar en la práctica con funciones específicas (por ejemplo, $ lim_{x\to3}2x^2=18)$. Pero a la modernista, este objeto matemático tuvo que ser dado algunos precisa definición que concuerda con rigor; no es suficiente un sofá de la intuición en una frase como "a medida que x se aproxima". Y así el $\epsilon-\delta$ definición del límite nació (algunos atribuyen la idea de Cauchy, pero fue traído a su forma completa por los teoremas de Bolzano y de Weierstrass).
El punto es que Newton, con su fluxions, y Leibniz con su $dx$ y el como, aprovechado en toda un área de las matemáticas, de toda un área de física de estudio, sin la adición de rigor! Pero aún más que eso, sus ideas siguen influyendo en casi todos los de pensamiento matemático en la actualidad. Esto es lo que viene a mi mente cuando pienso en la intuición en matemáticas.
