Los análisis dimensionales en Integrales Productores de logaritmos

Question

Decir que tengo las ecuaciones de la forma $f(x) = 1/x$ (para ilustrar el caso más simple del problema) o $g(x) = \frac{1}{a - b \cdot x/c}$ y quiero encontrar una de las integrales.

Normalmente, ambos serían bastante sencillo. $\int f(x)dx = \ln(x) + C$, e $\int g(x)dx = -\frac{c}{b}\ln(a \cdot c - b \cdot x) + C$.

Supongamos ahora, sin embargo, que $a$, $b$, $c$, y $x$ son dimensionful cantidades; más específicamente, $a$ tiene las mismas unidades que $b$ $x$ tiene las mismas unidades que $c$. Sería de esperar que $\int \frac{dx}{x}$ debe ser adimensional, y de hecho la $\ln$ función tiene un puro número de resultado... pero el argumento de a $\ln$ también debe ser adimensional, que $x$ es no, lo que conduce a un problema de interpretación.

Del mismo modo, $\int g(x)dx$ debe tener unidades de $type(x)$$type(a)$, que de hecho lo hace (ya que nos define $x$ & $c$ para tener las mismas unidades, y $a$ $b$ a tener las mismas unidades), pero también implica un no-adimensional argumento a $\ln$.

Así que, ¿cómo puede esto ser resueltos? ¿Cómo se hace para integrar la inversa unidades en una forma que tenga sentido?

Answer 1

Parte del problema es que la integración indefinida en realidad no tiene mucho sentido; es mejor considerado como una notación abreviada. La significativa cantidad es una integral definida: $\int_a^b f(x) dx$. Para $f(x)=1/x$, esto hace hacer dimensional sentido, porque mientras $a,b$ tienen el mismo signo, $\int_a^b 1/x dx = \ln(b/a)$. (Si $a,b$ tienen signos opuestos, entonces la integral simplemente no converge clásica.)

De regreso en términos de $\ln(|b|)-\ln(|a|)$, esto todavía tiene sentido dimensional de la $a,b$, ya que para cualquiera de las dos opciones de unidades de $a,b$, los dos se diferencian por un multiplicativo constante. Y $\ln(cx)-\ln(cy)=\ln(c)+\ln(x)-\ln(c)-\ln(y)=\ln(x)-\ln(y)$ (asumiendo $c,x,y>0$ para facilitar la presentación). Así que usted tiene la invariancia bajo el cambio de unidades, que es lo que debe tener para una cantidad adimensional.

Answer 2

normalmente decimos que el argumento a cualquiera de las funciones trascendentes

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \, x^n $$

debe ser adimensional debido a la Maclauren de la serie se utiliza para evaluar tiene muchas diferentes poderes de $x$, los coeficientes de $a_n$ son adimensionales, y la única manera de manera significativa puede agregar esos términos es si todos ellos son adimensionales, lo que significa que $x$ debe ser adimensional.

funciones de energía

$$ f(x) = x^p $$

puede tomar un dimensionful argumento y devolverá otro dimensionful resultado que es la dimensión de la discusión planteada a la $p$ de la energía.

el $\log(\cdot)$ función podría ser un poco diferente. no es particularmente buena forma, pero desde

$$ \log(a \, b) = \log(a) + \log(b) $$

el $\log(x \cdot \textsf{<unit>})$ donde $x$ es adimensional y se multiplica la unidad de token, puede ser el pensamiento de la suma de los $\log(x)$ e las $\log(\textsf{<unit>})$. Este sorta de las obras, por ejemplo:

$$\begin{align} \log \left( \frac{1 \textsf{ mile}}{1 \textsf{ km}} \right) &= \log(1 \textsf{ mile}) - \log(1 \textsf{ km}) \\ &= \log(1) + \log(\textsf{ mile}) - (\log(1) + \log(\textsf{ km})) \\ &= \log(1.609344) \\ & \approx 0.47582664254 \\ \end{align}$$

que es adimensional. así que de alguna manera el $\log(\textsf{mile})$ $\log(\textsf{km})$ debe diferir en una constante adimensional. pero yo no podría expresarlo de esa manera.

yo generalmente insisten en que sólo como-ajusta las cantidades pueden sumarse, restarse, equipara, o comparación. que la multiplicación de dimensionado cantidades multiplica sus dimensiones y que la división y el poder (o raíz) de las funciones de reflejar esa convención, y que los trascendentales debe tener adimensional argumentos.