¿Tiene$p = x^2 + 9y^2$ para algunos$x$,$y \in \mathbb{Z}$ si y sólo si$p \equiv 1 \text{ mod }12$?

Question

Para un número primo$p \neq 2$,$3$, tiene$p = x^2 + 9y^2$ para algunos$x$,$y \in \mathbb{Z}$ si y sólo si$p \equiv 1 \text{ mod }12$?

Un caso en el que esto es cierto como para sugerir plausibilidad:$13 = 2^2 + 9 \times 1^2$.

Answer 1

Un inicio:

Un famoso teorema demostrado por Fermat dice $p = x^2 + y^2$ si y sólo si $p \equiv 1 \bmod 4$. También, $x^2 \pmod 3$ sólo toma los valores de $0$ o $1$.

Ahora tenemos $p = x^2 + 9y^2 = x^2 + (3y)^2$.

El acabado (crédito a Mikhail Ivanov):

$\Rightarrow$: Vamos a $p = 12k+1$. Sabemos $p = x^2 + y^2$. Si no $x, y$ son divisibles por $3$,$p \equiv x^2 + y^2 \equiv 2 \mod 3$, contradicción. Por lo tanto, uno de los $x$ o $y$ es divisible por $3$, WLOG deje $x = 3z$. Luego tenemos a $p = 9z^2 + y^2$, que es lo que queríamos demostrar.

$\Leftarrow$: Tenemos $x^2 + 9y^2 \equiv x^2 \equiv 0$ o $1 \mod 3$ $x^2 + 9y^2 \equiv 0, 1$ o $2 \mod 4$.

Las posibilidades de $\mod 12$ entonces $0, 1, 4, 6, 9, 10$. Sólo $1$ es posible ser prime, así que $x^2 + 9y^2 \equiv 1 \mod 12$ si es primo.

Answer 2

Terminar:

Para$p=12k+1$, tenemos$p=x^2+y^2$, y, en caso$gcd(xy, 3)=1$, entonces$p\equiv x^2+y^2\equiv 2 \pmod 3 $, una contradicción.

Por el contrario,$x^2+9y^2\equiv 0$ o$1 \pmod 3$, y$x^2+9y^2\equiv 0, 1, 2\pmod 4$. Si este número es primo, entonces tenemos una sola posibilidad:

ps