¿Por qué es el impulso de un covector?

Question

Alguien me puede decir por qué el impulso es un elemento de la cotangente del espacio?

Más detallado: si tenemos algo de suave colector M y el espacio cotangente $T_{x}M^{*}$ sé que el momento lineal p es un elemento de $T_{x}M^{*}$, pero no tengo la intuición de por qué.

En mi mecánica teórica conferencia mi profesor nos dijo que la generalizada impulso con los componentes de la $p_{a}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^{a}}$ de Hamilton mecánica es un covector, pero nunca hablamos de la "regular" momentum $p=mv$. Es un covector demasiado?

Edit: he leído que enlaza el artículo antes de escribir el mío y creo que el mío no es un duplicado. Las similitudes son que los dos queremos una intuitiva explicación de por qué el impulso es un covector. La única respuesta a su artículo es una explicación de por qué la 1-forma p actos lineal de velocidades. En realidad es una buena respuesta pero no da ninguna intuición de por qué el impulso es un covector. Además, me preguntó si la "regular" momentum $p=mv$ es un covector demasiado. Este aspecto está totalmente ausente en el post vinculado.

Answer 1

Adición: si usted sabe Lagrangiana de la mecánica, la generalización en el impulso se define como el $$\frac{\partial L(q,\dot{q}, t)} {\partial \dot{q}}$$ porque esto es lo que se conserva si una de las coordenadas es cíclico. Esto es claramente una función lineal en las velocidades generalizadas, por lo que se puede identificar con un covector.

Para una partícula libre $L = \frac{1}{2} m \dot{q} ^2$, de modo que la ecuación de Lagrange implica $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(q,\dot{q}, t)} {\partial \dot{q}} = 0 \implies m\dot{q} = const$$ Tenga en cuenta que esto ya no es una declaración acerca de la $p=mv$ sí, pero se trata de una función lineal de la misma. En otras condiciones no hay nada interesante que decir acerca de $m\dot{q}$, pero si el Lagrangiano no depende de $q$, $\partial L / \partial \dot{q}$ todavía se conserva.

Respuesta corta: para un sistema de coordenadas $(q^1,...q^n)$ en un colector $M$ nos vamos a la generalización en el momenta $(p_1,...,p_n)$ ser una base para la contangent espacio que actúa en $\lambda \in \pi^{-1}(M) \subset T^*M$ $p_i(\lambda) = \lambda(\frac{\partial}{\partial q^i})$ donde $\pi: T^*M \rightarrow M$ es la proyección del mapa . Esto le da los mismos resultados cuando se $M$ es de vainilla espacio vectorial aunque aquí impulso no es bastante $p=mv$.

La razón fundamental de esto es que en Hamiltoniana de la mecánica, la física que en realidad sucede en la cotagent el paquete, el 2n dimensiones del colector de parametrizadas por $(q^1 \circ \pi, ... , q^n \circ \pi, p_1, ..., p_n)$.

Este formalismo es motivado por el poco simétrica hoyo jugado por la $q^i$ e las $p_i$ en la ecuación de Hamilton, por lo que hemos llegado a olvidar acerca de la base del colector y de hecho consideran arbitraria de 2n dimensiones de los colectores equipado con un anti-simétrica no degenerados diferencial de la forma (la forma simpléctica), que distingue la posición de los impulsos.

El tema es demasiado grande como para explicar en detalle aquí, pero buscando en la mecánica de esta manera le da muchos resultados profundos con relativa facilidad. Por ejemplo, la conservación de la forma simpléctica bajo mociones que implica la conservación del volumen del espacio de fase. También, debido a las similitudes entre las ecuaciones de Hamilton y la de Cauchy Riemann ecuaciones, complejos métodos de análisis puede dar un poco de perspectiva. Este es el campo de pseudoholomorphic curvas.

Para una introducción a ver los últimos capítulos de Spivak de Física para los Matemáticos.