Según el título, converge$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sin(\pi(2+\sqrt{3})^n)$? Convergen absolutamente?
Estoy atascado en esta cuestión, no está seguro de cómo acercarse a ella.
¡Gracias!
Respuesta
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Sugerencia: Dejar $$A_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n.$$ Demuestra en primer lugar que $A_n$ es un número entero. Hay varias maneras de ver esto, incluyendo la expansión de ambas potencias utilizando el Teorema del Binomio, y tomando nota de las cancelaciones. O bien, si usted está familiarizado con las recurrencias, el $A_n$ satisfacer una agradable Fibonacci como la recurrencia de la relación.
Pero $0<2-\sqrt{3}<0.27$, lo $(2-\sqrt{3})^n$ $0$ rápidamente como $n$ se hace grande. Por lo tanto, para los grandes $n$, $(2+\sqrt{3})^n$ es sólo un poco por debajo de un número entero. Que nos da un buen manejo en el tamaño de $\sin(\pi(2+\sqrt{3})^n)$. Para $$\sin(\pi(2+\sqrt{3})^n)=\sin(\pi A_n -\pi(2-\sqrt{3})^n).$$ Ahora el uso de la fórmula $\sin(x+y)=\sin x\cos y +\cos x\sin y$, y el estándar de las estimaciones para $|\sin t|$ al $t$ está cerca de a $0$.
