Problemas que se hacen más fáciles de forma más general

Question

Cuando resolvemos un problema, a menudo nos fijamos primero en algunos casos especiales y luego intentamos llegar al caso general.

Sería interesante ver algunos contraejemplos de este proceso mental, es decir, problemas que se convierten en más fácil cuando se formulan de forma más general (o ambiciosa).

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Motivación/Ejemplo

Recientemente alguien preguntó para la solución de $a,b,c$ tal que $\frac{a}{b+c} = \frac{b}{a+c} = \frac{c}{a+b} (=t).$

Alguien sugirió escribir esto como un sistema de ecuaciones lineales en términos de $t$ y resolviendo para $a,b,c$ . Resulta que (i) $a=b=c$ o (ii) $a+b+c=0$ .

La solución (i) es obvia al ver el problema, pero (ii) no me resultó evidente hasta que resolví el sistema de ecuaciones.

Entonces me pregunté cómo se generalizaría esto a más variables, y escribí el problema como: $$ \frac{x_i}{\sum x - x_i} = \frac{x_j}{\sum x - x_j} \quad \forall i,j\in1,2,\dots,n $$

Observando esta formulación, ambas soluciones resultan evidentes de inmediato sin necesidad de álgebra lineal (para (ii), establezca $\sum x=0$ de modo que cada denominador se anule con su numerador).

Answer 1

Consideremos la siguiente integral $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^7-1}{\ln x}\,dx$ . Todos nuestros intentos de encontrar una antiderivada fracasan porque la antiderivada no es expresable en términos de funciones elementales.

Consideremos ahora la integral más general $f(y) = \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^y-1}{\ln x}\,dx$ .

Podemos diferenciar con respecto a $y$ y evaluar la integral resultante de la siguiente manera:

$f'(y) = \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{d}{dy}\left[\dfrac{x^y-1}{\ln x}\right]\,dx = \int_{0}^{1}x^y\,dx = \left[\dfrac{x^{y+1}}{y+1}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{y+1}$ .

Desde $f'(y) = \dfrac{1}{y+1}$ tenemos $f(y) = \ln(y+1)+C$ para alguna constante $C$ .

Trivialmente, $f(0) = \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^0-1}{\ln x}\,dx = \int_{0}^{1}0\,dx = 0$ . Por lo tanto $C = 0$ y así, $f(y) = \ln(y+1)$ .

Por lo tanto, nuestra integral original es $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^7-1}{\ln x}\,dx = f(7) = \ln 8$ .

Esta técnica de generalizar una integral introduciendo un parámetro y diferenciando con respecto a ese parámetro se conoce como Integración de Feynman .

Answer 2

Recuerdo que algo así surgió al evaluar ciertos sumandos. Por ejemplo, considere:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} {n \over 2^n} $$

Podemos generalizar esto dejando que $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} nx^n$ así que..:

$$ \begin{align} {f(x) \over x} &= \sum_{n=0}^{\infty} nx^{n-1} \\ &= {d \over dx} \sum_{n=0}^{\infty} x^n \\ &= {d \over dx} {1 \over {1-x}} = {1 \over (x-1)^2} \end{align} $$

Por lo tanto,

$$ f(x) = {x \over (x-1)^2} $$

La solución al problema original es $f({1 \over 2}) = 2$ .

Answer 3

El libro de George Polya Cómo resolverlo llama a este fenómeno "La paradoja del inventor": "El plan más ambicioso puede tener más posibilidades de éxito". El libro da varios ejemplos, entre ellos los siguientes.

1) Considera el problema: "Una recta y un octaedro regular están dados en posición. Hallar un plano que pase por la recta dada y biseccione el volumen del octaedro dado". Si lo generalizamos a "una recta y un sólido con centro de simetría se dan en posición..." se hace muy fácil. (El plano pasa por el centro de simetría y la recta).

El libro también da otros ejemplos de la Paradoja del Inventor, pero "más ambicioso" no siempre es lo mismo que "más general". Consideremos: "Demuestre que $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3$ es un cuadrado perfecto". Polya demuestra que es más fácil demostrar (por inducción matemática) que " $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ...+ n)^2$ ". Esto es más ambicioso pero no es más general.

AÑADIDO MÁS TARDE:

La página web Generalizaciones en matemáticas da muchos ejemplos similares. Incluso entra en la diferencia entre "más ambicioso" y "más general".

Answer 4

La solución al Problema de Monty Hall

Supongamos que estás en un concurso y te dan a elegir entre tres puertas: Detrás de una puerta hay un coche; detrás de las otras, cabras. Eliges una puerta, digamos la nº 1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, sigue el protocolo fijo de abrir otra puerta, digamos la nº 3, que tiene una cabra. Entonces te dice, "¿Quieres elegir la puerta Nº 2?" [ ] tu elección?

se hace más evidente cuando se generaliza a un $N$ -problema de apertura de la puerta $N-2$ puertas. Para $N\gg3$ La intuición de la mayoría se rebela contra la elección original.

Answer 5

No estoy del todo convencido de que los problemas hechos de alguna manera más fácil por generalizaciones es exactamente lo que ocurre aquí.

En el ejemplo proporcionado en su pregunta, ¿qué hizo que la solución al problema general aparece más fácil es que te dieras cuenta de que $$x_1+\cdots+x_{j-1}+x_{j+1}+\cdots+x_n=\sum_{i=1}^nx_i-x_j.$$ En efecto, (como comentó tunococ) tenía la menos general se ha escrito como $$\frac{a}{a+b+c-a}=\frac{b}{a+b+c-b}=\frac{c}{a+b+c-c},$$ entonces su más fácil solución al problema general también se aplica aquí. Yo diría que en todo caso, la generalización le ayudó a notar un patrón que no habías visto antes. ¿Habría notado este patrón si no hubiera formulado el problema de forma general? Quizás sí, quizás no.

En mi opinión, lo que tu experiencia demuestra es que formular un problema $Q$ en términos más generales $P$ es una de las muchas formas en que se puede obtener una visión fundamental que proporcione la clave para la solución del problema general $P$ (por lo que inevitablemente también resuelve el caso especial inicial $Q$ también). A veces, esto puede conducir a una solución hasta ahora desconocida para usted y que será más elegante o más fácil que las soluciones anteriores. Sin embargo, dado que esa idea podría haber surgido fácilmente sin generalizar el problema, el hecho de que la solución hizo venir de ti pensando en la generalización me parece muy circunstancial.

EDITAR: Sin embargo, el ejemplo de JimmyK4542 (y el truco de integración de Feynmann) parece una demostración espectacular del fenómeno.