Soluciones de $f(f(z)) = e^z$

Question

Me da la impresión de que si queremos encontrar una función f(z) que satisface

$$f(f(z)) = e^z $$

sólo hay un punto z que satisface la relación.

Esto me ocurrió cuando me di cuenta de que los molestos z que mantiene apareciendo en mis intentos de mirar el problema era el de mi libro he propuesto empezar, a saber: $z_o = 0.318 + 1.337i.$, por Lo que la broma era sobre mí.

Ahora me gustaría probar este. Yo instintivamente comienza por asumir que hubo un $z \neq z_o$ y derivar una contradicción. Esperemos que voy a hacer algunos progresos antes de que una respuesta sea publicado, pero estoy seguro de que voy a perder matices. Tal vez es tan simple como muestra de que la $\log^nz$ tiene un punto fijo, que no sé para ser verdad.

Gracias por la ideas.

Answer 1

Daniel,

Una solución podría ser la mitad de recorrer generados de los verdaderos valores de tetration, pero también se puede iniciar con la $z_0\approx0.318+1.337i$ punto fijo, y desarrollar la mitad de recorrer directamente desde allí. Por supuesto, esta solución no es real valorados en el eje real. A continuación, $z_0$ está definido de tal forma que $\exp(z_0)=z_0$. Entonces hay una Schroeder función de $s(z)$, y su inversa, $s^{-1}(z)$. El Schroeder función de $\exp(z)$$\lambda=z_0\approx0.318+1.337i$; en caso de $s(z_0)=0$, y s(z) es una serie de taylor desarrolló en el barrio de $z_0$. Y la inversa de la Schroder función, $s^{-1}(0)=z_0$.

$s(\exp(z))=\lambda s(z)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;s(z) = (z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 + a_3(z-z_0)^3 + ... $

$s^{-1}(\lambda z)=\exp(s^{-1}(z))\;\;\;\;s^{-1}(z) = z_0 + z + b_2 z^2 + b_3 z^3 + ...$

Por último, la mitad de la iteración de f(z) que usted podría estar buscando ser $h(z) = s^{-1}(s(z) \times \lambda^{0.5} )$ $h(h(z)) = \exp(z)$

La solución para h(z) no es real valorados en el eje real, y h(z) tiene una singularidad en z=0. Sin embargo, la mitad de la iteración de decir un número como 1/2 está definido. $h(0.5)\approx 0.99303919280011+0.1311428457124i$

Una completamente diferente solución implica real valorados tetration, que en realidad implica tanto $z_0$$\overline{z_0}$. Este es Kneser la solución, que involucra tanto a puntos fijos, y un mapeo de Riemann. Escribí un pari-gp programa que pretende calcula Kneser de la solución. Puede descargar el pari-gp código de http://math.eretrandre.org/tetrationforum/showthread.php?tid=486 Llame a la abel función de la slog o inversa de tetration, $\alpha(z)$, y a la inversa abel función de $\alpha^{-1}(z)$ es tetration sí mismo.

A continuación,$h(z)=\alpha^{-1}(\alpha(z)+0.5)$. Con esta solución, $h(0)$ está definido, y la mitad de recorrer de 0 es: $h(0)\approx 0.498563287941114434679619$

$h(h(z))=\exp(z)$

h(z)=
        0.498563287941114434679619
+z^ 1*  0.876336132224813093948089
+z^ 2*  0.247552187310897996180728
+z^ 3*  0.0245718116969028132878499
+z^ 4* -0.000952136380204205567746147
+z^ 5*  0.000253339819008525443204593
+z^ 6*  0.0000709275516366955520540078
+z^ 7* -0.0000481808433402200348719782
+z^ 8*  0.00000263228465405932187872481
+z^ 9*  0.00000596598826774285620512586
+z^10* -0.00000130879479719985814669383
+z^11* -0.000000747165552015528631238906
+z^12*  0.000000268510892327234834856927
+z^13*  0.000000112440534247328702573054
+z^14* -0.0000000480789869461352605312404
+z^15* -0.0000000220118629742873551964336
+z^16*  0.00000000817933994010676141640719
+z^17*  0.00000000530688749879414641441033
+z^18* -0.00000000123819700193839015397174
+z^19* -0.00000000141844961463076076766377
+z^20*  1.05287927108075115225173 E-10
+z^21*  0.000000000389632939104117575233834
+z^22*  3.51707444355648805383811 E-11
+z^23* -1.04753098725701245543137 E-10
+z^24* -2.89321996209623932705115 E-11
+z^25*  2.62480364845324234254238 E-11
+z^26*  1.38848625050719277138625 E-11
+z^27* -5.58405052292307415587597 E-12
+z^28* -5.57754465436342011963328 E-12
+z^29*  6.94355445214550947800341 E-13
+z^30*  2.00345639417984951165738 E-12