Si $a, b, c, d, e$ y $f$ son no negativos números verdaderos tales que $a + b + c + d + e + f = 1$, entonces ¿cuál es el valor máximo de $ab + bc + cd + de + ef$?
Respuestas
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user123454321
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Nota que comentario de lyj prácticamente responde a esta pregunta. Además de eso, podemos lograr este máximo tomando $(a, b, c, d, e, f) = (0, 0, 11/32, 1/2, 5/32, 0)$.
Es decir, acabamos mostrando a continuación.
La cantidad en cuestión tiene un límite superior de $1/4$ (por argumento de lyj).
Puede alcanzar el límite superior de $1/4$.
user54230
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Estoy seguro de la respuesta es $1/4$, pero no puedo demostrarlo rigurosamente...
Queremos multiplicar a los dos números más grande que podemos juntos, simplemente dejando que $a=1/2$ y $b=1/2$ hará el truco.
De hecho si dejamos de % iguales $b, c, d, e$% #% y dejó el número antes y después de agregar a $1/2$, obtenemos también $1/2$.
Así por ejemplo podemos dejar $1/4$ y que $e=1/2$ y $d=1/8$, obtenemos un valor máximo de $f=3/8$.
DMC
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Aquí está la solución completa en el caso de que los comentarios no eran suficientes.
Tenga en cuenta que $(a+c+e)(b+d+f) = (a+c+e)(1-(a+c+e)) \le \frac{1}{4},$ con igualdad de iff $a + c + e = \frac{1}{2}.$ Expansión la primera expresión anterior da $(ab+bc+cd+de+ef)+(ad+af+be+cf) \le \frac{1}{4}.$ Desde todas nuestras variables son no negativas, $ad + af + be + cf \ge 0,$ o $-(ad+af+be+cf) \le 0,$ da $ab+bc+cd+de+ef \le \frac{1}{4} - (ad+af+be+cf) \le \frac{1}{4}.$ Para lograr la igualdad, necesitamos lo siguiente:
1) $a + c + e = \frac{1}{2},$ nuestra condición original.
2) $\frac{1}{4} - (ad + af + be + cf) = \frac{1}{4},\, \textrm{ i.e. } ad + af + be + cf = 0.$
Así hemos demostrado que el límite superior es $\frac{1}{4},$ y que podemos alcanzar este límite superior. Por ejemplo, supongamos $a = \frac{1}{2} = b$ $c = d = e = f = 0.$ Otro ejemplo es $a = 0,\, b = \frac{1}{3},\, c = \frac{1}{2},\, d = \frac{1}{6}, e = 0,\, f = 0.$
