$13$ es el primer más grande que puede dividir dos números enteros sucesivos del % de forma $n^2+3$

Question

¿Cómo puedo probar a raíz de problemas en teoría de números?

Muestran que $13$ es el primer más grande que puede dividir dos números enteros sucesivos del % de forma $n^2+3$.

Answer 1

Que $p=4k+1$ es un número primo y $q$ es otro número primo tal que $$q|n^2+k, q|(n+1)^2+k$ $, lo que implica que el $q|2n+1$. Ahora tenga en cuenta que $$4(n^2+k)=(2n+1)(2n-1)+4k+1$ $ ya $q|4(n^2+k)$ y $q|(2n+1)(2n-1)$, $q|4k+1=p$ y $q=p$. (En tu pregunta $k=3$).