Quizá mi pregunta sea muy trivial. Me gustaría tener la definición de "número". ¿Alguien puede aconsejarme algunos documentos en línea?
muchas gracias
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Adjit
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Número significa cosas diferentes para personas diferentes (e incluso para matemáticos diferentes). Cuando contamos objetos número En ese contexto, un número es una etiqueta o una palabra asociada a la idea de varias cosas. $1, 2, 3, \cdots$ son números. Hace falta un pequeño salto de fe para incluir la ausencia de objetos como concepto numérico, lo que nos da $0$ . Cuando alguien escribe "463", entendemos que es un número, pero se escribe utilizando tres números (que a menudo se denominan simplemente números para simplificar). Pero ese "463" podría ser un número escrito en rojo en la columna de débito de mi presupuesto, en cuyo caso, sé que fueron 463 $ gastados en lugar de recibidos, y así podemos etiquetar los números por su "dirección", ya sea positivo ou negativo . Así $-463$ también es un número, pero es importante darse cuenta de que la expresión simplemente etiqueta algún concepto que era útil (débito de dinero, por ejemplo).
También escribimos números en una línea a distancias iguales entre sí (una regla), y este objeto puede utilizarse para comparar longitudes de objetos. Por supuesto, la longitud de la mayoría de los objetos está comprendida entre números enteros. Los antiguos egipcios (entre otros) resolvieron este enigma pensando en piezas de un número entero, es decir, fracciones . Así, por ejemplo, $1$ tiene 3 partes iguales, cada una de las cuales tiene "longitud" $1/3$ . Estas fracciones $1/n$ también se consideran números . Usted consigue la imagen aquí....
Por supuesto, el número suele ir acompañado de operaciones como la suma, la multiplicación y sus inversas. Dos números enteros sumados o multiplicados dan otro número entero ( $\mathbb{N}$ está cerrado bajo $+$ y $\times$ ). Sin embargo, se necesitan los números negativos para tener inversos para añadir. Hay que incluir todas las fracciones $m/n$ con el fin de tener inversos para la multiplicación (por supuesto, todavía no podemos evitar el hecho de que $1/0$ es indefinido, por lo que no solemos considerar $1/0$ ser un número ).
En cualquier caso, este post se está alargando mucho más de lo que pretendía, y corro el riesgo de nublar mi punto.... Un número no es más que un etiqueta para un concepto que puede no tener una definición definida... que empieza como contar objetos pero se amplía por las necesidades de varias personas y/o matemáticos. Como último ejemplo, en mi campo de las matemáticas (topología algebraica), los objetos con los que jugamos son espacios (pensemos en superficies, esferas, el toroide, etc. etc. etc.), y de muchas maneras, podemos pensar en añadiendo espacios, multiplicando y haciendo muchas otras cosas que parecen operaciones con números. Así que, en una analogía muy forzada, los espacios también pueden considerarse números .
Ilya Kochetov
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Una definición de "número" debe expresar esta noción en términos que no dependan de ella y son, en cierto sentido, más primitivos. La única definición de este tipo que conozco pertenece a Francis Lawvere y se basa en la teoría de categorías. Presupone que sabemos lo que significa un "conjunto".
Un objeto "número" (en el Establecer categoría) consiste en un conjunto $N$ con un elemento diferenciado llamado cero $(0\in N)$ y un endomorfismo $h:N\rightarrow N$ que tiene la siguiente propiedad. Para cada estructura $e\in X\xrightarrow{g}X$ existe una única función $f : N\rightarrow X$ tal que $f(0)=e$ y $f(h(n))=g(f(n))$ para cada $n\in N$ .
Esto puede expresarse gráficamente diciendo que existe una única función $f$ que hace que el siguiente diagrama sea conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} 1 @>0>> N @>h>> N \\ @VV{id}V @VVfV @VVfV \\ 1 @>e>> X @>g>> X \end{CD}$$
Aquí $1$ es sólo una notación conveniente para un conjunto de un elemento.
De esta definición también se deduce que $N$ se determina unívocamente hasta el isomorfismo.
John
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Como ya han señalado algunos, las letras "1", "2", "3", etc., no son más que etiquetas de un concepto matemático. Sin embargo, este concepto matemático puede precisarse, por supuesto, mediante la teoría matemática de conjuntos. Este es un resumen de las definiciones precisas de los números:
Los números naturales. ¿Qué son los números 0,1,2,3,4,...? La teoría matemática de conjuntos da la respuesta: \begin{align} 0 &= \emptyset \\ 1 &= \lbrace \emptyset \rbrace \\ 2 &= \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \end{align} etc. Más concretamente, si $x$ es un conjunto, entonces definimos la operación $'$ por \begin{equation} x'=x \cup \lbrace x \rbrace \end{equation} y di:
Un conjunto $x$ es un número natural si y sólo si $x$ es el elemento f todo conjunto, que contiene al conjunto vacío y es cerrado bajo $'$ .
Es decir: $0$ es sólo una etiqueta para el conjunto vacío. $1$ es sólo una etiqueta para el conjunto que contiene el conjunto vacío. $2$ es sólo una etiqueta para el conjunto que contiene al conjunto vacío y el conjunto que contiene al conjunto vacío, y así sucesivamente. Este es la noción precisa de número. La existencia de estos conjuntos está garantizada por los axiomas sobre los que se construyen las matemáticas: los axiomas de la teoría de conjuntos.
Los enteros y los racionales. ¿Y qué hay de las cifras? $-1,-2,-3,...$ ? Ahora la cosa se complica un poco más. Primero (por el teorema de recursión, que también se deduce por los axiomas de la teoría de conjuntos) hay que definir $+$ sobre los números naturales. Los números enteros se definen entonces por "clases de equivalencia de conjuntos ordenados de números naturales". Más concretamente, dos "conjuntos ordenados" $\langle a_1,b_1 \rangle$ y $\langle a_2,b_2 \rangle$ son equivalentes si $a_1+b_2=a_2+b_1$ . Aquí imaginamos el conjunto ordenado $\langle a_1,b_1 \rangle$ para significar la diferencia $a_1-b_1$ . Entonces hay que demostrar (mediante técnicas complicadas) que el conjunto de los números naturales es isomorfo a un subconjunto de los enteros.
De forma similar, se encuentran los números racionales como clases de equivalencia de conjuntos ordenados mediante $$ \langle a_1,b_1 \rangle \simeq \langle a_2,b_2 \rangle \Leftrightarrow a_1 b_1 = a_2 b_1$$ después de definir la multiplicación en los números enteros (de nuevo por recursión).
De nuevo, por ejemplo $-4$ es sólo una etiqueta para la clase de equivalencia de $\langle 2,6 \rangle$ utilizando la primera relación de equivalencia y $\frac{1}{3}$ es sólo una etiqueta para la clase de equivalencia $\langle 1,3 \rangle$ utilizando la segunda relación.
De verdad. Ahora, ¿qué pasa con números como $\pi$ y $e$ que no sean fracciones? Esto es aún más complicado. Primero definimos $$ R = \lbrace f ~|~ f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \rbrace,$$ es decir, el conjunto de todas las sucesiones en los números racionales. Además, denotamos por $C$ el conjunto de todas las secuencias de Cauchy en $\mathbb{Q}$ . Los reales están definidos por las clases de equivalencia $$ x \in R \simeq y \in R \Leftrightarrow x-y \mbox{ null sequence}.$$ Así que $\pi$ es sólo una etiqueta para la clase de equivalencia de todas las secuencias de Cauchy que convergen a $\pi$ .
Existen aún más clases de números. Los números complejos pueden hallarse mediante técnicas similares. Los números cardinales son "números infinitos" y pueden introducirse para medir distintos "grados" de infinito.
Para precisar todas las nociones anteriores se puede consultar cualquier buen libro de teoría de conjuntos, por ejemplo éste .
