¿Por qué esta suma doble infinita $\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty\frac{1}{k!}$ converge a $e$?

Question

No puedo llegar a comprender el resultado a continuación: $$S=\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty\frac{1}{k!}=e$$ que es dado por Mathematica (código abajo) y verificado (numéricamente) por WolframAlpha.

In[65]:= Sum[1/k!, {n, 1, Infinity}, {k, n, Infinity}]

Out[65]= E

He intentado resolverlo de la siguiente manera: $$\begin{align*}S&=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k!}\\[1ex] &=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots\right)\\[1ex] &=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+2)!}+\cdots\\[1ex] &=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n!}+\sum_{n=3}^\infty\frac{1}{n!}+\cdots\\[1ex] &=(e-1)+\left(e-1-\frac{1}{2}\right)+\left(e-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)+\cdots\end{align*}$$ que no parece seguir un patrón telescópico, pero podría estar equivocado al respecto. No me resulta obvio si esto realmente se telescopia.

Editar: Cambiar el orden de la suma hace maravillas, como se muestra en la respuesta aceptada, pero actualmente me pregunto si existe alguna posibilidad de que la última línea admita algún argumento telescópico conciso?

Answer 1

Al revertir el orden de suma esto se convierte en

\begin{align*} \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^k \frac{1}{k!} &= \sum_{k = 1}^{\infty} \frac 1 {k!} \sum_{n = 1}^k 1\\ &= \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot k \\ &= \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k - 1)!} = e \end{align*}

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Para entender el cambio de orden, notemos que todas las sumas aquí son muy convergentes (y positivas), así que no me preocuparé por problemas técnicos. La suma original trata de fijar $n$ y sumar sobre $k \ge n$. Si te imaginas escribiendo todos los pares de números naturales en una cuadrícula con $k$ corriendo horizontalmente y $n$ verticalmente, esto es fijar una columna y sumar cada par debajo de la diagonal principal. Es decir, la mitad inferior izquierda de la cuadrícula.

Por otro lado, también podemos describir esto como sumar sobre cada fila, pero deteniéndonos cuando llegamos a la diagonal principal.