Un círculo dentro de una elipse

Question

Considere la posibilidad de una elipse de semi-ejes $a$$b$, más alto que ancho, con un pequeño círculo de radio $r$ en el interior. Asumir el círculo cae hasta el punto más bajo posible mientras se alojan en el interior de la elipse.

Si $2r\le a-c$, luego el círculo y la elipse se reúnen en un solo punto en la parte inferior. Si $2r>a-c$ el círculo y la elipse se intersecan en dos puntos en el lado opuesto, dejando un espacio entre la parte inferior del círculo y la parte inferior de la elipse. Para este caso, dado el radio del círculo y las dimensiones de la elipse ¿cómo puedo calcular la distancia $d$ entre la parte inferior del círculo y la parte inferior de la elipse?

Answer 1

Llegué $$w =b - \sqrt{\frac{(b^2-a^2)(a^2-r^2)}{a^2} }-r $$

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Comience con las coordenadas polares de la elipse $$ \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \tfrac{a b}{\sqrt{b^2-(b^2-a^2) \cos^2 \varphi}} \begin{pmatrix} \sin \varphi \\ -\cos\varphi \end{pmatrix}$$ _{donde $(x,y)$ son el punto de contacto de las coordenadas con respecto al centro de la elipse}

El ángulo de contacto $\eta$ (ver más abajo) se encuentra desde el vector tangente a la elipse como $$ \eta = \varphi - \bronceado^{-1} \left( \frac{ (a^2-b^2) \sin\varphi \cos\varphi}{b^2 - b^2-a^2)\cos^2 \varphi} \right) $$

la ubicación del círculo se encuentra a partir de las relaciones $$\begin{aligned} r \sin \eta = s \sin \varphi \\ z+r \cos \eta = s \cos \varphi \end{aligned}$$

Esto es resuelto por $$\varphi = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \frac{b^2}{a} \sqrt{ \frac{a^2-r^2}{b^2 r^2-a^4} } \right) $$

y $$ z = s \cos\varphi - r \cos \eta $$

Finalmente, la brecha es $$\boxed{w = b -z - r}$$ y con una gran cantidad de simplificaciones (gracias CAS) tengo la respuesta anterior.

Answer 2

Por la Ley de los Senos, tenemos que $$ \frac{|CF_1|}{|PF_1|}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\theta)}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\pi-\theta)}=\frac{|CF_2|}{|PF_2|}\tag{1} $$ y por la definición de la propiedad de una elipse, $$ \frac{|CF_1|+|CF_2|}{|PF_1|+|PF_2|}=e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $(1)$ $(2)$ implica $$ \frac{|CF_1|}{|PF_1|}=\frac{|CF_2|}{|PF_2|}=e\etiqueta{3} $$ La Ley de los Cosenos dice que $$ |PC|^2+|PF_1|^2-2|PC||PF_1|\cos(\alpha)=e^2|PF_1|^2\etiqueta{4} $$ y $$ |PC|^2+|PF_2|^2-2|PC||PF_2|\cos(\alpha)=e^2|PF_2|^2\etiqueta{5} $$ Por lo tanto, desde el $|PF_1|+|PF_2|=2a$, restando $(5)$ $(4)$ y dividiendo por $|PF_1|-|PF_2|$ rendimientos $$ \frac{b^2}=\left(1-e^2\right)=|PC|\cos(\alpha)\etiqueta{6} $$ Conectar $(6)$ a $(4)$ y resolviendo $|PF_1|$ da $$ |PF_1|=\left(1-\sqrt{1-\frac{|PC|^2}{b^2}}\right)\etiqueta{7} $$ y por lo tanto, $$ |CF_1|=\sqrt{a^2-b^2}\left(1-\sqrt{1-\frac{|PC|^2}{b^2}}\right)\etiqueta{8} $$ Dejando $r=|PC|$, la distancia desde el extremo derecho del círculo a la derecha de la elipse es $|CF_1|+a-\sqrt{a^2-b^2}-r$, que es $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{d=a-r-\sqrt{a^2-b^2}\sqrt{1-\frac{r^2}{b^2}}}\etiqueta{9} $$ para$\frac{b^2}a\le r\le b$$d=0$$r\le\frac{b^2}a$.