Comprensión de una prueba elemental de Dummit y Foote

Question

La siguiente prueba es del libro de Dummit y Foote, $Abstract$ $Algebra$ . La prueba está bien estructurada y tiene sentido, salvo dos partes menores. Cuando se dice $G/K $ es isomorfo a un subgrupo de $S_p$ por qué la justificación es la $1^{st}$ teorema de isomorfismo y no el Teorema de Cayley? En segundo lugar, ¿por qué $k=1\implies H=K$ ?

Answer 1

Cuando dicen $G/K$ es isomorfo a un subgrupo de $S_p$ ¿por qué la justificación el 1er teorema de isomorfismo y no el Teorema de Cayley?

Pues bien, el teorema de Cayley utiliza la representación regular de $G$ para demostrar que $G$ se incrusta en algunos $S_n$ . Aquí no tienes eso, tienes una acción de grupo en un conjunto (ten en cuenta que $G/H$ es no un grupo hasta que probemos $H$ es normal), es decir $\pi_H\colon G\to \operatorname{Perm}(G/H) = S_p$ es un homomorfismo de grupo y por el primer teorema de isomorfismo, $\pi_H'\colon G/K\to S_p$ es un monomorfismo. Tal vez esto puede ser pensado como una aplicación de Cayley, pero no hay ninguna razón para ello. Si se tratara de aplicar Cayley directamente sobre $G/K$ lo que se obtendría es que $G/K$ es un subgrupo de $S_{kp}$ no $S_p$ , lo cual es una diferencia crucial.

En segundo lugar, ¿por qué $k=1\implies H=K?$

$k$ se define como $k = |H:K|$ . Si $k = 1$ entonces $H/K$ es un grupo trivial que se da precisamente cuando $H = K$ (si hay $h\in H$ , $h\not\in K$ entonces $hK$ es un elemento no trivial de $H/K$ ).

Answer 2

El teorema de Cayley es para $G$ actuando sobre sí mismo, no para $G$ actuando sobre los cosets izquierdos de un subgrupo. En su caso $G$ actúa transitivamente sobre los cosets izquierdos de $H$ , por lo que esto induce una inyección $\phi: G/K\to S_p$ , es inyectiva porque si $g_1, g_2$ inducen la misma permutación, entonces $g_1g_2^{-1}\in K$ . Es decir: en $G/K$ la acción se da simplemente tomando cualquier representante $g$ de un determinado $\overline{g}\in G/K$ , pero luego en $G/K$ la identidad es $\overline{e}=K$ por lo que dos elementos que inducen la misma permutación están en $K$ significa que deben ser iguales en $G/K$ (es decir, el núcleo del mapa de $G/K$ a $S_p$ es trivial). Pero entonces un homomorfismo inyectivo es lo mismo que decir $G/K$ es isomorfo a un subgrupo del espacio objetivo, terminando la prueba.

Answer 3

Su apelación al teorema de Cayley no es del todo infundada: Hay una generalizado Teorema de Cayley, atribuido a Herstein, que puede aplicarse directamente en la demostración dada:

Sea H un subgrupo de un grupo $G$ . Entonces existe un homomorfismo canónico de $G$ en el grupo de permutaciones de los cosets de $H$ y el núcleo de este homomorfismo está en $H$ .

Answer 4

Para su primera pregunta, observe que cada $g\in G$ define una permutación de $S = \{\gamma H\mid \gamma\in G\}$ a través de la acción $g.(\gamma H) := (g\gamma) H$ . Desde $\left|G : H\right| = \# S = p$ Por supuesto, se puede elegir una biyección $S\to\{1,\dots,p\}$ y esto define un homomorfismo $G\to S_p$ . Este homomorfismo es precisamente su $\pi_H$ . Ahora el primer teorema de isomorfismo dice precisamente que $$ G/K = G/\ker\pi_H\cong\operatorname{im}\pi_H\subseteq S_p. $$

En segundo lugar, $k$ se definió como el índice de $K$ en $H$ . Es decir, $k = \#\{hK\mid h\in H\}$ . Pero si $k = 1$ Esto significa que $hK = K$ para todos $h\in H$ ; es decir, $H\subseteq K$ . Desde $K\subseteq H$ también, esto significa $H = K$ .

(Para ver que $K\subseteq H$ Recuerde que $K := \ker\pi_H$ lo que significa que cualquier $\kappa\in K$ actúa como la identidad en el conjunto $S$ definida anteriormente a través de la acción $\kappa.(\gamma H) = (\kappa\gamma)H$ . Es decir, $$ \kappa.(\gamma H) = (\kappa\gamma)H = \gamma H $$ para todos $\kappa\in K$ , $\gamma\in G$ . En particular, $\kappa.H = H$ para todos $\kappa\in K$ para que $\kappa\in H$ para todos $\kappa\in K$ .)