Demostrando una desigualdad por inducción matemática

Question

Estoy tratando de resolver un problema con las desigualdades mediante la inducción matemática, pero estoy atascado a mitad de camino a través del proceso. El problema: Use inducción matemática para establecer la desigualdad - $(1 + \frac{1}{2})^n \ge 1 + \frac{n}{2}$ n $\in \mathbb{N}$

Pasos

1) $n = 1$, $(1 + \frac{1}{2})^1 \ge 1 + \frac{1}{2}$ es CIERTO

2) $n = k$, suponga que $(1 + \frac{1}{2})^k \ge 1 + \frac{k}{2}$ n $\in \mathbb{N}$

3) Mostrar que la afirmación es verdadera para $k + 1$

$(1 + \frac{1}{2})^{k+1}$ = $(1 + \frac{1}{2})^k * (1 + \frac{1}{2})$

$\ge$ $(1 + \frac{k}{2}) * (1 + \frac{1}{2})$ - el uso de la asunción en el paso $2$

Mi pregunta es, ¿cómo puedo continuar con este problema? O ¿qué hice mal en algún lugar? Simplemente no puedo entender lo que el siguiente paso es.

Answer 1

Continuar con:

$(1 + \frac{k}{2}) * (1 + \frac{1}{2}) =$

$1 + \frac{k}{2} + \frac{1}{2} + \frac{k}{4} >$

$1 + \frac{k}{2} + \frac{1}{2}=$

$1 + \frac{k+1}{2}$

Answer 2

Están intentando establecer, desde $(1+1/2)^k \ge 1 + k/2$ que $(1 + 1/2)^{k+1} \ge 1 + (k+1)/2$. Es decir, se le da una declaración de la forma: $$a \ge b$ $ y están tratando de establecer una declaración de la forma $$a\cdot c \ge d$ $

Por lo que necesitará establecer $b \ge \frac dc$, es decir, es necesario establecer:

$$1 + \frac k2 \ge \dfrac{1 + \dfrac{k + 1}{2}}{1 + \dfrac 12}$$

Debe ser simple.

Answer 3

Continuar expandiendo el producto.

$$(1 + \frac{1}{2})^{k+1} =(1 + \frac{1}{2})^k \cdot (1 + \frac{1}{2}) \ge (1+\frac{k}2)(1 + \frac{1}{2}) = 1+\frac{k}2 + \frac12+\frac{k}{4}>1+\frac{k+1}{2}$$